Đề HSG cấp cụm lớp 7 môn Toán năm 2022 2023 trường THCS Cành Nàng Thanh Hóa

UBND HUYỆN BÁ THƯỚC TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

THỊ TRẤN CÀNH NÀNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP CỤM

NĂM HỌC 2022-2023 Đề thi môn: TOÁN 7 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 29 tháng 01 năm 2023

Bài 1. (4 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:

a)

2 0 2 2 2 3. 2. 4. 3 3 3 A − − −       = − +            

b) B 42.53 47.156 47.114 = + −

c) 7 7 5 21 49 8 C . . . 13 15 12 39 91 15 = − +

Bài 2. (4 điểm) Tìm , , x y z biết a) ( ) x 2034 .5 105 − = −

b) 1 0,25 1,25 2 x − + =

c) 1 3 5 2 4 8 x − =

d) ( 1 1 1 ... 2 3 2014 + + + ). x = 2013 2012 2 1 ... 1 2 2012 2013 + + + +

Bài 3. (4 điểm)

a) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a + 7 = b 5 − + b - 5.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức C= 22 3x 4 x − − có giá trị lớn nhất.

Bài 4. (6 điểm)

Cho ∆ABC có góc A nhỏ hơn 900. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ∆ABM và ∆ACN.

a) Chứng minh rằng: MC = BN. b) Chứng minh rằng: BN ⊥ CM. c) Kẻ AH ⊥BC (H ∈ BC). Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN. Bài 5. (2 điểm) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 1! + 2! +3! +…+ x! = y2

--------------- HẾT ---------------

UBND HUYỆN BÁ THƯỚC TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

THỊ TRẤN CÀNH NÀNG

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2022- 2023

MÔN: TOÁN 7

Câu Nội dung Điểm

1 (4đ)

a

2 0 2 2 2 3. 2. 4. 3 3 3 A − − −       = − +            

4 4 3. 4.1 9 3 A = + +

4 4 4 3 3 A = + +

2 6 3 A =

0,5

0,5

0,5

b

( ) A 42.53 47. 156 114 42.53 47.42 = + − = +

( ) A 42. 53 47 42.100 4200 = + = =

0,5 0,5

c

7 7 5 7 7 8 B . . . 13 15 12 13 13 15 = − +

7 7 5 8 B . 13 15 12 15   = − +    

7 5 B . 1 13 12   = −    

7 7 49 B . 13 12 156 = =

0,5

0,5

d

2 (4đ)

a

x 2034 21 − = − x 21 2034 x 2013 = − + =

0,5

0,5

b

1 0,25 1,25 2 x − + =

0,25 0,75 x ⇒ − =

0,25 0,75

0,25 0,75

x

x

− =  ⇒− = − 

1

0,5

x

x

=  ⇒= − 

Vậy { } 1; 0,5 x∈ −

0,5

0,5

c

1 3 5 1 11 2 4 8 2 8 11 4

x x

x

− = ⇔ =

=

0,5

0,5

d

( 1 1 1 ... 2 3 2014 + + + ).x = 2013 2012 2 1 ... 1 2 2012 2013 + + + + 0,5

⇔( 1 1 1 ... 2 3 2014 + + + ).x = 2012 2011 2 1 1 1... 1 1 1 2 3 2012 2013 + + + + + + + +

⇔( 1 1 1 ... 2 3 2014 + + + ).x = 2014 2014 2014 2014 2014 ... 2 3 2012 2013 2014 + + + + +

⇔( 1 1 1 ... 2 3 2014 + + + ).x = 1 1 1 1 1 2014( ... ) 2 3 2012 2013 2014 + + + + ⇔x =

2014

0,5

3(4đ)

a

Nhận xét: Với x ≥ 0 thì x + x = 2x

Với x < 0 thì x + x = 0. Do đó x + x luôn là số chẵn với ∀

x∈Z. Áp dụng nhận xét trên thì b 5 − + b – 5 là số chẵn với b -5 ∈ Z.

Suy ra 2a + 7 là số chẵn ⇒ 2a lẻ ⇔ a = 0 . Khi đó b 5 − + b – 5 = 8

+ Nếu b < 5, ta có - (b – 5) + b – 5 = 8 ⇔ 0 = 8 (loại) + Nếu b ≥ 5 , ta có 2(b – 5) = 8 ⇔ b – 5 = 4 ⇔ b = 9 (thỏa mãn) vậy (a; b) = (0; 9)

0,5

0,5

0,5

0,5

b

Biến đổi C = 22 3x 4 x − − = 3(4 x)+10 10 3 4 x 4 x − = + − −

C có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 10 4 x − có giá trị lớn nhất

Có x ∈Ζ , ta xét các trường hợp sau

Với x > 4 ⇒ 4 – x < 0 thì 10 4 x − < 0 (1)

Với x > 4 ⇒ 4 – x > 0 . Phân số 10 4 x − có tử và mẫu đều dương, tử

không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất Có x ∈Ζ Suy ra 4 – x ∈Ζ Suy ra 4 – x là số nguyên dương nhỏ nhất ⇒ 4 - x = 1 ⇒ x = 3

khi đó 10 4 x − có giá trị là 10 (2)

Từ (1) và (2) , phân số 10 4 x − lớn nhất bằng 10

Vậy GTLN của C bằng 13 khi và chỉ khi x = 3

0,5

0,5

0,5

0,5