Đề thi HSG lớp 7 môn Toán năm 2020 2021 phòng GD ĐT thành phố Sầm Sơn Thanh Hóa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ SẦM SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2020 - 2021

MÔN THI: TOÁN

LỚP 7 - THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm)

1. Tính:

24 10

4 28 32 4 8 16 + + .

2. Tính nhanh : a) A = 13 23 33 43 93 103 ... 4.9 9.14 14.19 19.24 44.49 49.54 − + − + + − ;

b) B = 1 1 1 1 1 1 6 18 36 60 90 126 + + + + + .

3. Cho 2x = 8y+1 và 9y = 3x – 9 (x, y  N). Tính giá trị của biểu thức x - 2y2. Câu 2. (4,0 điểm)

1. Tìm các số a, b, c biết: (a – b – 1) : (a + b – 1) : (a – 1)b = 3 : 7 : 30. 2. Tìm x, biết: 3 2 5 4 5 x x − − = −.

Câu 3. (4,0 điểm)

1. Số M được chia thành ba phần tỉ lệ với nhau như 0,25: 0,375 : 0,1(3). Tìm số M,

biết rằng tổng các bình phương của ba phần đó bằng 4564. (Lưu ý: 1,(3) = 4

3 ).

2. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức N =

2 3 4 1 2 x x x

− + − có giá trị nguyên.

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC có 0 30 ABC ACB = = . Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. Lấy điểm E thuộc cạnh CD sao cho 0 30 DBE = . Gọi P là điểm trên cạnh BC sao cho BP = BD. Vẽ PQ vuông góc với CD.

a) Chứng minh rằng tam giác AEB là tam giác vuông.

b) Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 BE BC BD = + .

c) Chứng minh rằng EB = EQ. d) So sánh hai đoạn thẳng AE và AQ. Câu 5. (2,0 điểm)

So sánh A và B biết:

A = 2016 2017 2018 2019 2017 2018 2019 2016 + + + và B = 1 1 1 1 ... 8 9 10 63 + + + + .

........ Hết .........

Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh: .................................................. Số báo danh: ……...

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ SẦM SƠN

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI

CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn: Toán - Lớp 7 (Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang)

Câu Ý Nội dung Điểm

1

1

Tính:

24 10

4 28 32 4 8 16 + + 1,0

24 10

4 28 32 4 8 16 + + = ( ) ( ) ( ) ( )

24 10 5 2 120 20

4 28 12 112 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2

+ + = + +

0,25

( ) ( )

20 100

12 100 2 2 1

2 2 1

+ =

+ 0,25

82 = ( )

2 4 4 2 2 = = 0,25

16 = 0,25

2a)

Tính nhanh : A = 13 23 33 43 93 103 ... 4.9 9.14 14.19 19.24 44.49 49.54 − + − + + − 1,0

A = 13 23 33 43 93 103 ... 4.9 9.14 14.19 19.24 44.49 49.54 − + − + + −

=             + − + + + − + + + + − +                        

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 4 9 9 14 14 19 19 24 44 49 49 54

0,25

= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 4 9 9 14 14 19 19 24 44 49 49 54 + − − + + − − + + + − − 0,25

= 1 1 4 54 − 0,25

= 25

108 0,25

2b)

Tính nhanh B = 1 1 1 1 1 1 6 18 36 60 90 126 + + + + + 1,0

B = 1 1 1 1 1 1 6 18 36 60 90 126 + + + + + = 3 3 3 3 3 3 18 54 108 180 270 378 + + + + +

= 3 3 3 3 3 3 3.6 6.9 9.12 12.15 15.18 18.21 + + + + +

0,25

= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 6 6 9 9 12 12 15 15 18 18 21 − + − + − + − + − + − 0,25

= 1 1 3 21 − 0,25

7 1 6 2 21 21 7 − = = = 0,25

3

Cho 2x = 8y+1 và 9y = 3x – 9 (x, y  N). Tính x - 2y2 1,0

2x = 8y+1 = ( )

1 3 3 3 2 2 3 3 y y x y + + =  = + (1)

9y = 3x – 9 = ( )

2 2 3 3 9 2 y y x y =  − = (2) 0,25

Thay x = 3y + 3 vào (2) ta được: 3y + 3 – 9 = 2y  y = 6 0,25 Thay y = 6 vào (1) ta được: x = 3.6 + 3 = 21 0,25 Vậy x - 2y2 = 21 - 2.62 = - 51. 0,25

2

1

Tìm a, b, c biết (a – b – 1):(a + b – 1):(a – 1)b = 3 : 7 : 30 2,0 (a – b – 1) : (a + b – 1) : (a – 1)b = 3 : 7 : 30

1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 3 7 30 3 7 5 a b a b a b a b a b a − − + − − − − + + − −  = = = = +

(a - 10)

0,5

− − − =  = =  = − ( 1) 1 ( 1) 30 6 6 30 5 1 5 a b a a b b a (a - 10) 0,5

− − − − − − −− − =  = = = = − 1 1 6 1 1 1 ( 7) 6 3 3 5 3 5 5 3 2 a b a a a a a

1 5.3 15 16 a a  −= =  =

0,75

Vậy a = 16, b = 6 0,25

2

Tìm x, biết: 3 2 6 4 5 x x − − = − (1) 2,0

Vì 3 2 5 0 x − − với mọi x nên từ (1) ta suy ra 4x – 5  0

5 4 x   (2) 0,25

15 7 3 3 2 3 2 0 4 8 x x x    −   −  3 2 3 2 x x  − = −

3 2 6 3 2 6 3 8 x x x  − − = −− = −

0,5

Do đó: 3 2 6 4 5 3 8 4 5 x x x x − − = −  − = − 0,25

3 8 4 5 3 3 8 (4 5) 7 13 x x x x x x − = − = −       − = − − =  

3 …