Đề học sinh giỏi huyện lớp 7 môn Toán năm 2015 2016 phòng GD ĐT Nho Quan Ninh Bình

1

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN 7 Thời gian làm bài:120 phút

Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang

Câu 1: (4.5 điểm)

a) Tính tổng

2 3 4 49 50 1 1 1 1 1 1 ... 2 2 2 2 2 2 N                                      .

b) Tính giá trị biểu thức 6 5 5 6 b a Q a b    , biết rằng 1 2 a b  .

c) Sắp xếp các số hữu tỉ m; n; p theo thứ tự tăng dần: m = 2100; n = 375; p = 550.

Câu 2: (4.5 điểm)

Tìm tất cả các giá trị của x, biết:

a) 3 2 2 1 2 3 x  

b)   4 1 2 81 x  

c) 1 3 4 7 1 2 5 15 8 y y y x     

Câu 3: (4.0 điểm)

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

2 2016 2015 x S x    .

b) Cho một dãy số gồm tất cả các số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 30 là: -29, -28, -27, ..., -1, 0, 1, ...,27, 28, 29 Các số nguyên trên được đánh số thứ tự một cách tùy ý. Lấy mỗi số đó trừ đi số thứ tự của nó ta được một hiệu. Hãy tính tổng của tất cả các hiệu đó.

Câu 4: (6.0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ( H BC  ). Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các tam giác ABE vuông cân tại B và tam giác ACF vuông cân tại C. Trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC. Chứng minh rằng:

a)   0 BAH EBC 180   , từ đó suy ra   BAI EBC  .

b) BI = CE và ba điểm E, A, F thẳng hàng.

c) Ba đường thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại một điểm.

Câu 5: (1.0 điểm)

Cho a, b là các số hữu tỉ khác 0, thỏa mãn điều kiện: a ab a b b   . Tính giá trị

của biểu thức 2 2 T a b   .

..................................... Hết ....................................

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

2

UBND HUYỆN NHO QUAN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI Năm học: 2015-2016 MÔN THI: TOÁN 7 Hướng dẫn chấm gồm 03 trang

Câu Nội dung Điểm

Câu 1 (4.5 điểm)

a) (2.0 điểm)

Ta có: 2 3 4 48 49 1 1 1 1 1 1 2 1 ... 2 2 2 2 2 2 N       

2 3 4 49 50 1 1 1 1 1 1 ... 2 2 2 2 2 2 N       

50

50

50

1 2 1 2 2 1 2

N N

N

  

  

Vậy

50

50 2 1 2 N  

0.75 0.5 0.5 0.25 b) (1.5 điểm)

Từ 1 2 2 a b a b   

Thay vào Q ta được 6 5 6.2 5 7 7 5 6 5 6.2 17 17 b a a a a Q a b a a a        

Vậy 7 17 Q 

0.25 1.0 0.25 c) (1.0 điểm) Ta có 100 4.25 25 75 3.25 25 50 2.25 25 2 2 16 ; 3 3 27 ; 5 5 25 m n p          Từ đó suy ra m p n   0.75 0.25

Câu 2 (4.5 điểm)

a) (2.0 điểm)

3 2 2 1 2 3 2 1 1 x x     

 2x – 1 = 1 hoặc 2x – 1 = - 1

 2x = 2 hoặc 2x = 0

 x = 1 hoặc x = 0

Vậy x = 1 hoặc x = 0

0.5 0.25 0.5 0.5 0.25

b) (1.5 điểm)

    4 4 4 1 2 81 2 1 3 x x     

2x – 1 = 3 hoặc 2x – 1 = - 3

2x = 4 hoặc 2x = -2

x = 2 hoặc x = -1

Vậy x = 2 hoặc x = -1

0.25 0.5 0.25 0.25 0.25

3

c) (1.0 điểm)

1 3 4 7 1 2 5 15 8 y y y x      (1)

Ta có: 1 3 4 7 1 3 4 7 5 10 1 2 5 15 5 15 5 15 3 y y y y y y x x x x               (2)

Từ (1), (2) suy ra 1 2 1 2 1 ,(y ) 3 8 5 3 8 2 y y x x x          

Vậy 5 x 

0.5 0.5

Câu 3 (4.0 điểm)

a) (2.0 điểm)

Ta có

2 2

2 2 2 2016 2015 1 1 1 2015 2015 2015 x x S x x x         

Vì 2 2 1 1 2015 2015 2015 2015 x x      ( do 1 > 0 và 2 0 x  )

Suy ra 2 1 1 2016 1 1 2015 2015 2015 S x    

Vậy GTLN của S là 2016 2015 khi và chỉ khi 0 x 

0.5 0.5 0.5 0.5 b) (2.0 điểm) Xét các số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 30 gồm 59 số là: -29, -28, -27, …, -1, 0, 1, …, 27, 28, 29 (1) Giả sử 59 số trên viết thành dãy sau: a1, a2, a3,…, a59 Ta cần tính tổng       1 2 3 59 1 2 3 ... 59 P a a a a         

1 2 3 59 (a a a ... a ) (1 2 3 ... 59) P          Mà 1 2 3 59 (a a a ... a ) 0     

1 2 3 59 (a a a ... a ) (1 2 3 ... 59) (1 2 3 ... 59) P              

59.60 (1 2 3 ... 59) 1770 2 P       

0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5

Câu 4 (6.0 điểm)

GT- KL

0.5

E

B

A F

C

M

H

K

I