Chuyên đề tìm GTLN GTNN của biểu thức bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 môn Toán

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8

Biên soạn: Trần Đình Hoàng 0814000158 1

CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC

MỤC LỤC

I. LÝ THUYẾT ................................................................................................................................... 2

II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN ............................................................................................. 3

Phương pháp 1. Sử dụng phép biến đổi đồng nhất ...................................................................... 3

Dạng 1. Tìm GTNN và GTLN của đa thức bậc hai đơn giản ............................................... 3

Dạng 2. Tìm GTNN và GTLN của đa thức bậc bốn đơn giản ............................................ 10

Dạng 3. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức dạng A

B ........................................................ 14

Dạng 4. Tìm Min, Max của biểu thức có điều kiện của biến .............................................. 31

Dạng 5. Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản: ....................................................................... 41

Dạng 6. Tìm Min, Max bằng cách sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối ... 44

Phương pháp 2. Phương pháp chọn điểm rơi ............................................................................ 47

Phương pháp 3. Sử dụng phương pháp đặt biến phụ ................................................................. 53

Phương pháp 4. Sử dụng biểu thức phụ ..................................................................................... 56

Phương pháp 5. Phương pháp miền giá trị ................................................................................ 59

Phương pháp 6. Phương pháp xét từng khoảng giá trị .............................................................. 61

Phương pháp 7. Phương pháp hình học ..................................................................................... 64

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8

Biên soạn: Trần Đình Hoàng 0814000158 2

I. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa M. được gọi là GTLN của f(x,y,...) trên miền xác định D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn : 1. f(x,y,...)  M (x,y,..)  D 2.  (x0, y0,...)  D sao cho f(x0, y0...) = M. Ký hiệu : M = Max f(x,y,..) = fmax với (x,y,...)  D M. được gọi là GTNN của f(x,y,...) trên miền D đến 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn :

1. f(x,y,...)  M (x,y,..)  D 2.  (x0, y0,...)  D sao cho f(x0, y0...) = M. Ký hiệu : M = Min f(x,y,..) = fmin với (x,y,...)  D 2. Các kiến thức thường dùng

2.1. Luỹ thừa:

a) x2  0 x  R  x2k  0 x  R, k  z  x2k  0 Tổng quát : f (x)2k  0 x  R, k  z   f (x)2k  0 Từ đó suy ra : f (x)2k + m  m x  R, k  z M  f (x)2k  M

b) x  0 x  0  ( x )2k  0 x  0 ; k z

Tổng quát : ( A )2k  0  A  0 (A là 1 biểu thức) 2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

a) |x|  0  xR b) |x + y|  |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra  x.y  0 c) |x  y|  |x|  |y| ; nếu "=" xảy ra  x.y  0 và |x|  |y| 2.3. Bất đẳng thức côsi:

ai  0 ; i = n ,1 : n n n a a a n

a a a ..... . ....

2 1 2 1     nN, n  2.

dấu "=" xảy ra  a1 = a2 = ... = an 2.4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :

Với n cặp số bất kỳ a1, a2,..., an ; b1, b2, ...,bn ta có : (a1b1 + a2b2 +...+ anbn)2  ( ) .... ).( .... 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 n n b b b a a a      

Dấu "=" xảy ra  1 2 n

1 2 n

a a a ... Const b b b     = Const

Nếu bi = 0 xem như ai = 0 2.5. Bất đẳng thức Bernonlly :

Với a  0 : (1 + a)n  1 + na n N. Dấu "=" xảy ra  a = 0.