Các hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ ỨNG DỤNG

A. Một số kiến thức cần nhớ

1. Nhắc lại những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bình phương của một tổng: ( ) ( ) 2 2 2 2 A B A 2AB B A B 4AB + = + + = − +

Bình phương của một hiệu: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 A B B A A 2AB B A B 4AB − = − = − + = + −

Hiệu của hai bình phương: ( )( ) 2 2 A B A B A B − = − +

Lập phương của tổng: ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 3 A B A 3A B 3AB B A B 3AB A B + = + + + = + + +

Lập phương của hiệu: ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 3 A B A 3A B 3AB B A B 3AB A B − = − + − = − − −

Tổng hai lập phương: ( )( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 A B A B A AB B A B 3AB. A B + = + − + = + − −

Hiệu hai lập phương: ( )( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 A B A B A AB B A B 3AB. A B − = − + + = − + −

2. Một số hằng đẳng thức tổng quát

( )( ) n n n 1 n 2 n 2 n 1 a – b a b a a b ab b − − − − = − + ++ +

( )( ) 2k 2k 2k 1 2k 1 2k 3 2 2k 1 a – b a – b a a b a b b − − − − = + ++ +

( )( ) 2k 1 2k 1 2k 2k 1 2k 2 2 2k a b a b a – a b a b b + + − − + = + + −+

( ) 2 2 2 2 a b c a b c 2ab 2bc 2ca + + = + + + + +

3. Nhị thức Newton

( ) n n 1 n 1 2 n 2 2 n 1 n 1 n n n n a b a C a b C a b C ab b − − − − + = + + ++ +

Trong đó ( )( ) ( ) k n n n 1 n 2 ... n k 1 C 1.2.3...k

  − − − −   =

Cách xác định hệ số của khai triển Newton.

• Cách 1. Dùng công thức ( )( ) ( ) k n n n 1 n 2 ... n k 1 C 1.2.3...k

  − − − −   =

Chẳng hạn hệ số của hạng tử 4 3 a b trong khai triển của ( ) 7 a b + là

4 7 7.6.5.4 7.6.5.4 C 35 4! 4.3.2.1 = = =

Chú ý.

+ ( )

k n n! C n! n k ! = − với quy ước 0! 1 = .

+ Ta có n k k n n C C − = nên 4 3 7 7 7.6.5. C C 35 3! = = = .

• Cách 2. Dùng tam giác Patxcan

Đỉnh 1

Dòng 1( ) n 1 = 1 1

Dòng 2( ) n 2 = 1 2 1

Dòng 3( ) n 3 = 1 3 3 1

Dòng 4( ) n 4 = 1 4 6 4 1

Dòng 5( ) n 5 = 1 5 10 10 5 1

Dòng 6( ) n 6 = 1 6 15 20 15 6 1

Trong tam giác hai cạnh bên gồm các số 1 và dòng k 1 + được thành lập từ dòng

k ( ) k 1  .

Với n 4 = thì ta có ( ) 4 4 3 2 2 3 4 a b a 4a b 6a b 4ab b + = + + + +

Với n 5 = thì ta có ( ) 5 5 4 3 2 2 3 4 5 a b a 5a b 10a b 10a b 5ab b + = + + + + +

Với n 6 = thì ta có ( ) 6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 a b a 6a b 15a b 20a b 15a b 6ab b + = + + + + + +

B. Một số ví dụ minh họa.

Với các hẳng đẳng thức đáng nhớ cũng như các hẳng đẳng thức mở rộng ta có

thẻ áp dụng khi giải một số dạng bài tập toán như sau.

+ Áp dụng trực tiếp các hằng đẳng thức để thực hiện tính phép tính, tính giá trị

các biểu thức số.

+ Áp dụng các hằng đẳng thức để thu gọn biểu thức và chứng minh các đẳng

thức.

+ Áp dụng các hằng đẳng thức để giải bài toán tìm giá trị của biến. Xác định hệ

số của đa thức.

+ Bài toán tính giá trị biểu thức với các biến có điều kiện.

+ Chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của biểu thức đại số.

+ Áp dụng các hằng đẳng thức để giải mọt số bài toán số học và tổ hợp.

Bài 1. Thực hiện phép tính.

a) ( ) ( )

2 2 2 2 3 – xy – 2 xy + b) ( ) 2 2 9x – 3x – 4

c) ( )( ) 2 2 a – b a b + d) ( )( ) 2 2 a 2a 3 a 2a 3 + + + −

e) ( )( ) x – y 6 x y – 6 + + f) ( )( ) y 2z – 3 y 2z 3 + − −

g) ( ) 3 2y – 3 h) ( ) 3 2 – y

i)( )( ) 2 2y – 5 4y 10y 25 + + j) ( )( ) 2 3y 4 9y –12y 16 + +

k) ( ) ( ) 3 3 x – 3 2 – x + l) ( ) ( ) 3 3 x y – x – y +

• Định hướng tư duy. Sử dụng các hằng đẳng thức để khai triển các hạng từ rồi thu gọn

đa thức

Lời giải

a) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 3 – xy – 2 xy 9 – 6xy x y – 4 – 4xy – x y 5 –10xy + = + =

b) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 9x – 3x – 4 3x – 3x 4 3x 3x – 4 4 6x – 4 24x –16 = + + = =

c) ( )( ) 2 2 2 4 a – b a b a – b + =

d) ( )( ) ( )

2 2 2 2 4 3 2 a 2a 3 a 2a 3 a 2a – 9 a 4a 4a – 9 + + + − = + = + +

e) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 x – y 6 x y – 6 x – y – 6 x – y 12y – 36 + + = = +

f) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 y 2z – 3 y 2z 3 y – 3 – 4z y – 6y – 4z 9 + − − = = +

g) ( ) 3 3 2 2y – 3 8y – 36y 54y – 27 = +

h) ( ) 3 2 3 2 – y 8 –12y 6y – y = +

i) (2y – 5)(4y2 + 10y + 25) = 8y3 – 125

j) ( )( ) 2 3 3y 4 9y –12y 16 27y 64 + + = +