Chuyên đề diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ đứng

DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân chiều cao.

Như vậy, ta có:

2 . xq S p h 

Trong đó:

 p là nửa chu vi đáy.

 h là chiều cao.

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.

Như vậy, ta có:

 2 tp xq đáy S S S

Thể tích của hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

Như vậy, ta có:

. V S h  .

Trong đó:

 S là diện tích đáy.

 h là chiều cao.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

VÍ DỤ 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của các hình lăng trụ đứng trong hình 102.

 Hướng dẫn: Sử dụng các công thức có sẵn.

 Giải

a) Hình hộp chữ nhật (hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật) có:

 Diện tích xung quanh:

    2 2 3 4 5 70 xq S cm   

 Diện tích toàn phần:

    2 70 2 3.4 94 tp S cm   

b) Hình lăng trụ đứng tam giác . ABC DEF có ABC  vuông tại A nên:

2 2 2 3 13 BC    .

Ta lần lượt có:

 Diện tích xung quanh:

    2 2 3 13 5 25 5 13 xq S cm    

 Diện tích toàn phần:

  2 1 25 5 13 2 .2.3 31 5 13 2 tp S cm           

.

VÍ DỤ 2: Các hình a), b), c) trong sgk gồm một hoặc nhiều dạng lăng trụ đứng. Hãy tính thể tích và diện

tích toàn phần của chúng theo các kích thước đã cho trên hình 111.

 Hướng dẫn: Ta lần lượt:

 Với hình a), tính độ dài cạnh đáy thứ ba bằng việc sử dụng định lí Py-ta-go. Tới đây, ta đi sử

dụng các công thức có sẵn.

 Với hình b), sử dụng nhận xét nó chính bằng hình a.

 Với hình c), cần chia nó thành hai khối lăng trụ đứng.

 Giải

a) Hình a) là lăng trụ có đáy là tam giác vuông có:

 Các cạnh 6cm, 8cm và cạnh thứ ba là 2 2 6 8 10cm   .

 Chiều có 3 h cm  .

Do đó:   3 1 . .6.8.3 72 2 V S h cm    .

    2 1 2S 6 8 10 .3 2. .6.8 120 2 tp xq S S cm        .

b) Hình b) là lăng trụ đứng bằng lăng trụ đứng ở hình a). Do đó:

  3 72 V cm  ;   2 120 tp S cm 

c) Hình c) gồm 2 lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật.

Ta có:        3 4.1 1.1 .3 15 V cm

        2 4 2 1 1 .2 16 xq S cm

       2 4.2 1.1 .2 18 haiñaùy S cm

     2 36 16 52 tp S cm .

VÍ DỤ 3: Cho hình lăng trụ đứng 1 1 1 1 . ABCD A B C D có đáy ABCD là hình thang vuông (   90 A D   ),

6 AB cm  , 2 CD cm  , 3 AD cm  , 1 5 AA cm  . Tính diện tích một đáy, diện tích xung quanh, diện tích

toàn phần và thể tích của hình lăng trụ.

 Hướng dẫn: Trước tiên, ta cần đi xác định đầy đủ các độ dài cơ bản của hình lăng trụ bằng việc sử

dụng tính chất hình thang vuông và định lí Py-ta-go. Cuối cùng, ta đi sử dụng các công thức có sẵn.

 Giải

Xét hình thang ABCD , hạ CH vuông góc với AB, ta có:

3 CH AD cm   , D 4 BH AB AH AB C cm      .

Trong HBC  vuông tại H, ta có:

2 2 2 2 2 4 3 25 5 BC BH CH BC cm        .

Khi đó, ta lần lượt có:

 Diện tích một đáy:

         2 . D 6 2 .3 24 ñaùy S AB CD A cm .

 Diện tích xung quanh:

  1 . xq S AB BC CD DA AA    

 

2 6 5 2 3 .5 80cm    

 Diện tích toàn phần:

     2 2 80 2.24 128 tp xq ñaùy S S S cm

 Thể tích:

   3 . 24.5 120 ñaùy V S h cm .

VÍ DỤ 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều 1 1 1 . ABC A B C có các cạnh bằng a.

a) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ.

b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABC  và 1A BC  .

 Hướng dẫn: Ta lần lượt:

 Với câu a), sử dụng ngay các công thức có sẵn.

 Với câu b), cần tính được diện tích của 1A BC  bằng lưu ý nó là tam giác cân tại A1