Đề thi chọn HSG cấp huyện lớp 9 môn Toán năm học 2015-2016 Trường Thcs Mỹ Hưng

1

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI

TRƯỜNG THCS MỸ HƯNG

ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP 9

Môn : Toán Năm học : 2015-2016 Thời gian:150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (6 điểm)

1,Cho biểu thức: K = 

 



    

  



    

 

1 1 1 1 : 1 2

2 3

x x x

x x x x

x x

a/ Rút Gọn K

b/ Tính giá trị của biểu thức K khi x = 24+ . 5 3 29 12 5   

c / Tìm x để : 1 8

1 1    x K 2,Cho các số thực dương x , y ,z thỏa mãn điều kiện

chứng minh rằng 2 3 1 1 1 2 2 2       x z z y y x 2 3 2 2 2    z y x

Bài 2: (4điểm) a ) Giải phương trình 13 6 1 7 2       x x x x

b ) Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn : a + b +c = 2    c b a

Chứng minh rằng : ) 1 )( 1 )( 1(

2 1 1 1 c b a c c b b a a

         Bài 3: (3điểm)

a) Tìm GTNN của

2 2 2 x y z A x y y z z x       biết x, y, z > 0 ,

xy yz zx 1   .

b) Chứng minh a b c 2 b c a c a b       với a, b, c > 0

Bài 4:(6 điểm).Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A (R>r) . Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC ( B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên đường tròn tâm (I) . Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường tròn ở E.

a) Chứng minh tam giác ABC vuôngtại A b) OE cắt AB tại N ; IE cắt AC tại F . Chứng minh N;E;F; A cùng nằm trên một đường tròn.

c) Chứngtỏ Rr BC 4 2  Tính diện tích tứ giác BCIO theo R ;r

Bài5: (1 điểm )Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy2 + 2xy – 243y + x = 0

----------------Hết---------------- (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

ThuVienDeThi.com

2

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS MỸ HƯNG

Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9

Năm học 2015- 2016

Môn thi : Toán

Bài Ý NỘI DUNG CẦN ĐẠT ĐIỂM

Bài 1 (6đ)

1.(4đ) a)(2đ)

b)(1 đ)

c )(1đ )

2)(2đ)

a, Với x0 , x≠ 1 ta có:

K = x x 2

1 

b,Ta có :

x = 24+

= 24+

= 24+

= 24+

= 25 Thay x = 25 vào K ta có:

K = 5 3 25 2

1 25  

0 )1 ( 8

9 6 0 1 8

1 1 2 1 8

1 1  

            

x

x x x x

x x K

(*) Do : nên (*) x x    0 )1 ( 8

mặtkhác 0 ) 3 ( 0 ) 3 ( 2 2        x x

9 3 0 ) 3 ( 2       x x x

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm ta có

2 3 2 1

2

1 2 1 1 1 1

2 2

2 2 2 2 2 2 2

   

           

x z

z y y x x z z y y x

Đẳngthứcsảyra :

) (

1

1

1

1

1

1

2 2

2 2

2 2

2

2

2

dpcm

x z

z y

y x

x z

z y

y x

  

 



 

 

 



  

 



 

 

 

0,5

0,75

0,75

0,5

0,75

0,75

0,5

0,5

0,5

0,5

ThuVienDeThi.com

3

a,(2đ)

b(2đ)

a,

ĐK: 7 1    x

Ápdụng BĐT Bunyakovsky

tacó

4 1 7 16 )1 7 ( 2 ) 1 7 ( 2              x x x x x x )

lạicó 4 4 ) 3 ( 13 6 2 2       x x x

do đó PT 3 0 3

1 7     

 

    x x

x x

b) Đặt thì c z b y a x    ; ;

1 2 2 2 ) ( 2

2

2

2 2 2

         

     

zx yz xy zx yz xy

z y x z y x

Do đó :

) )( ( 1

) )( ( 1

) )( ( 1

2

2

2

y z x z z zx yz xy c

x y z y y zx yz xy b

z x y x x zx yz xy a

       

       

       

Vìvậy

) 1 )( 1 )( 1(

2 ) )( )( (

) ( 2

)( ( ) )( ( ) )( ( 1 1 1

c b a x z z y y x

zx yz xy

z x z

z x y z y

y z x y x

x c c b b a a

      

  

             

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Bài 2 (4đ)

Bài 3 (3đ)

a(1,5đ )

b(1,5)

a :

2 2 2 x y z x y z x y y z z x 2         . Theo bất đẳng thức

Cauchy :

xy yz x y y z z x x+y+z xy ; yz ; zx nên 2 2 2 2 2         

min A = 1

2

1 x y z 3     .

b )Theo bấtđẳngthức Cauchy :

0,5

0,5

0,5

0,5

ThuVienDeThi.com