Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Chuyên đề 4 Phương pháp tứ giác nội tiếp

E

2

2

1

1

1

1

F

O

D

N

M

C

B

A

y

1

F

1

1

1 x

G

O E

D C

B A

CHUYÊN ĐỀ 4 : PHƯƠNG PHÁP TỨ GIÁC NỘI TIẾP ( HAY LỢI ÍCH CỦA VIỆC CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN )

Ta biết tứ giác nội tiếp là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên đường tròn . Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo các góc đối bằng 1800 . Biết một tứ giác nội tiếp thì suy ra được góc trong ở một đỉnh bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện với nó, ngoài ra còn có thể vận dụng định lý góc nội tiếp để tìm ra những góc bằng nhau. Dưới dây một số lợi ích của việc chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

1. Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn.

Nếu ta phải chứng minh 5 điểm A , B , C , M , N cùng thuộc một đường tròn , ta có thể Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp, tứ giác ABVN nội tiếp từ đó suy ra 4 điểm A, B , C , M và 4 điểm A, B , C , N cùng nằm trên một đường tròn . Hai đường tròn này có ba điểm chung nên chúng trùng nhau, từ đó suy ra 5 điểm A, B, C, M , N cùng thuộc một đường tròn .

Ví dụ 1: Cho góc vuông xAy . Trên tia Ax lấy điểm B cố định,trên tia Ay lấy điểm C di động. Vẽ đường tròn (O) nội tiếp ABC, tiếp xúc với các cạnh BC , CA , AB lần lượt tại D , E , F . Hai đường thẳng DE và OA cắt nhau tại G. a) Chứng minh 5 điểm O , D , G , B , F cùng thuộc một đường tròn. b) Đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. Giải : a) OFG = OEG (c-c-c)

Þ F$ 1 = µE 1 mà µ D 1 = µE 1 nên F$ 1 = µ D 1 Þ từ giác ODGF nội tiếp Þ O , D , G , F cùng thuộc một đường tròn. (1) mặt khác, tứ giác ODBF nội tiếp suy ra O, D , B , F cùng thuộc một đường tròn (2) từ (1) và (2) Þ 5 điểm O, D , G , B , F cùng thuộc một đường tròn, đó là đường tròn (ODF) b) Ta có · · µ OGB ODB A ; 0 0 1 90 45    . Vậy GAB vuông cân tại G. Vì AB cố định nên G cố định . Đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định là điểm G .

2. Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.

Để Chứng minh đường tròn (ABC) đi qua một điểm cố định, ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, từ đó suy ra điều phải chứng minh .

Ví dụ 2: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn . Lấy điểm D nằm giữa B và C . Qua D vẽ một đường thẳng vuông góc với OD cắt AB , AC lần lượt tại E và F, cắt đường tròn tại M và N . a) Chứng minh rằng ME = NF . b) Khi điểm D di động trên BC, Chứng minh rằng đường tròn (AEF) luôn đi qua một điểm cố định khác A .

Giải : a) Tứ giác OBED có µ B + µ D = 1800 nên tứ giác này nội tiếp đường tròn Þ µE 1 = µ B 1 . tứ giác ODCF có · · ODF OCF 0 90   nên tứ giác này nội tiếp đường tròn Þ F$ 1 = µ C 1 , mà µ B 1 = µ C 1 nên µE 1 = F$ 1 ; suy ra OEF cân tại O . Vì OD EF nên DE=DF (tính chất của tam giác cân) và DM=DN (đ/ kính vuông góc với dây cung) Từ (1) và (2) Þ ME = NF . b) Tứ giác OBED nội tiếp Þ µE 2 = µ D 2 . Tứ giác ODCF nội tiếp Þ · µ OFD D2  , do đó tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn , suy ra đường tròn (AEF) đi qua điểm O cố định .

ThuVienDeThi.com

O

M 2

2

1 1

H

K

N

D C

B A

M

2

2

1

1

1

1

x

H

E

M

D

C B

A

3. Chứng minh hai góc bù nhau hoặc bằng nhau.

Ta có thể Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn rồi suy ra hai góc đối bù nhau hoặc hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Ví dụ 3: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên đường tròn lấy một điểm O bất kỳ. Gọi D , E , F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các đường thẳng BC , CA , AB . a) Chứng minh rằng 3 điểm D , E , F cùng nằm trên một đường thẳng . b) Gọi H là hình chiếu của điểm M trên tiếp tuyến Ax của đường tròn . Chứng minh rằng MH . MD = ME . MF . Giải : * Trường hợp điểm M trùng với đỉnh một đỉnh của tam giác , bài toán hiển nhiên đúng.

* Trường hợp điểm M không trùng với đình của tam giác , giả sử M  »BC không chứa A ( nếu M »BC chứa A , cũng Chứng minh tương tự ) a) Tứ giác MDBF nội tiếp Þ µ D 1 = µ M 1 . Tứ giác MDEC nội tiếp Þ µ D 2 = µ M 2 . Tứ giác AFME nội tiếp Þ · ¼ EMF BMC  ( cùng bù với ·FAC ) Þ µ M 1 = µ M 2 , do đó µ D 1 = µ D 2 dẫn tới D , E , F thẳng hàng . b) Tứ giác …