Chuyên đề hình vuông

Hình 97

C D

A B

b) a)

Hình 98

D C

B A

D

B

O A C

HÌNH VUÔNG

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng

nhau (hình 97).

Tứ giác ABCD là hình vuông

    0 90 A B C D AB BC CD DA

          

.

Từ định nghĩa hình vuông suy ra hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.

2. Tính chất

Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết

Ba dấu hiệu từ hình chữ nhật:

 Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

 Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

 Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác thì nó là hình vuông.

Hai dấu hiệu từ hình thoi:

 Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

 Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Nhận xét: Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông.

4. Cách vẽ hình vuông

Có năm cách vẽ hình vuông, nhưng hay dùng hai cách sau:

Hình 99

45° 45°

F

E D

A C

B

a

a a

Hình 100

N M

F C D

E A B

Cách 1 (hình 98a): Vẽ một đường chéo, dựng đường trung trực của đường chéo đó. Lấy trung điểm vừa

dựng làm tâm vẽ đường tròn có đường kính bằng đường chéo vừa vẽ, nó cắt đường trung trực tại hai điểm ta

được đường chéo thứ hai.

Cách 2 (hình 98b): Sử dụng lưới ô vuông để vẽ tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Lưu ý:

 Cách 1 chứng minh được là hình vuông.

 Cách 2 không chứng minh được là nhận được hình vuông, chỉ là ảnh hình vuông.

II.CÁC DẠNG BÀI TẬP

A. CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA

Dạng 1. Nhận dạng hình vuông

Phương pháp giải

Sử dụng một trong hai cách sau:

Cách 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật có thêm dấu hiệu hai cạnh kề bằng nhau hoặc hai đường chéo

vuông góc hoặc một đường chéo là đường phân giác của một góc.

Cách 2: Chứng minh tứ giác là hình thoi có thêm dấu hiệu có một góc vuông hoặc hai đường chéo bằng

nhau.

Bài 1. Cho hình 99, tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

Lời giải

Tứ giác AEDF là hình vuông.

Giải thích:

Theo hình vẽ thì    0 90 A E F    . Tứ giác AEDF có ba góc

vuông nên nó là hình chữ nhật. Hình chữ nhật AEDF có AD

là đường phân giác của góc A nên nó là hình vuông.

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD có 2 AB AD  . Gọi , E F lần lượt là trung điểm của AB và CD . Gọi M

là giao điểm của AF và DE , N là giao điểm của BF và CE .

a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?

b) Tứ giác MENF là hình gì? Vì sao?

Lời giải (hình 100)

Đặt AD a  thì 2 AB a  .

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD ,

ta được AE EB BC CF FA a      .

a) Tứ giác ADFE là hình vuông.

Giải thích: Vì tứ giác ADFE có bốn cạnh bằng nhau nên nó

là hình thoi.

x

x

x

x

3

2

1

1

Hình 101

C D

B A M

Q

P

N

Hình thoi ADFE có  0 90 A  nên nó là hình vuông.

b) Tứ giác MENF là hình vuông.

Giải thích:

Chứng minh tương tự như câu a) ta cũng có tứ giác EBCF là hình vuông.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hai hình vuông ADFE và MENF , ta được:

 

   0 0 1 2

;

90 45

AF DE EC FB

M N E E E

           

.

Tứ giác MENF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật MENF lại có EF là đường phân giác của góc MEN nên nó là hình vuông.

Bài 3. Cho hình vuông ABCD . Trên các cạnh , , , AB BC CD DA lần lượt lấy các điểm , , , M N P Q sao cho

AM BN CP DQ    . Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.

Lời giải (hình 101)

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a và AM BN CP DO x     .

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD , ta được:

    0 90 A B C D     và MB NC PD QA a x      , nên bốn tam giác vuông , , , MBN NCP PDQ QAM

bằng nhau trường hợp (c-g-c) suy ra bốn cạnh tương ứng của các tam giác đó bằng nhau là

MN NP PQ QA    . Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.

Áp dụng tính chất về góc và kết quả hai tam giác bằng nhau vào hai tam giác , MBN NCP ta được:

 

 

  0 1 2 0 1 2

1 1

90

90 M N

N N M N

         

(1)

Lại …