Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên Hạ Long năm học 2013 - 2014 Môn Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, chuyên Tin)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG

NĂM HỌC 2013 - 2014

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

MÔN: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, chuyên Tin)

Ngày thi: 29/6/2013 Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

(Đề thi này có 01 trang)

Câu I. ( 2,0 điểm)

1) Cho biểu thức 2 x 13 x 2 2 x 1 A

x 5 x 6 x 2 x 3

         

với x 0  .

a. Rút gọn biểu thức A. b. Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên.

2) Tìm số nguyên dương n để   n n 1 p 1 2

   là số nguyên tố.

Câu II. (1,5 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) 2 y x  và đường thẳng (d) y mx 2   . a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm nằm về hai phía của trục tung.

b) Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại   1 1 A x ;y và   2 2 B x ;y . Tìm giá trị của

m để 2 1 2 2 1 y y 24 x mx     .

Câu III. (2,0 điểm)

1) Giải phương trình: 2 1 x 2x x 8x 1 x    .

2) Giải hệ phương trình:

2 2 x 4y 8xy 2

x 2y 4xy

      

.

Câu IV. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định, đường kính CD thay đổi (CD AB  ). Các tia BC, BD cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lần lượt ở E, F.

a) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp. b) Khi đường kính CD thay đổi, tìm giá trị nhỏ nhất của EF theo R. c) Đường tròn đi qua ba điểm O, D, F và đường tròn đi qua ba điểm O, C, E cắt nhau ở G (G O  ). Chứng minh ba điểm B, A, G thẳng hàng.

Câu V. (1,0 điểm)

Cho số thực x thỏa mãn 0 x 1  . Chứng minh rằng: 2 1 3 2 2 1 x x     .

………………. Hết ……………….

Họ và tên thí sinh: ………………………………………. Số báo danh: ………………

Chữ ký GT 1:

…………………...

Chữ ký GT 2:

…………………...

ThuVienDeThi.com

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG NĂM HỌC 2013 – 2014 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, chuyên Tin)

(Hướng dẫn chấm này có 03 trang)

Lời giải sơ lược Cho điểm

Bài I 2,0 đ

1.a) 2 x 13 x 2 2 x 1 A

x 5 x 6 x 2 x 3

            

2 x 13 x 2 2 x 1

x 2 x 3 x 2 x 3

         

0,25 đ

        

2 x 13 x 2 x 3 2 x 1 x 2

x 2 x 3

       

    

9 x

x 2 x 3

 

 

0,25 đ

     

3 x 3 x

x 2 x 3

  

 

3 x

x 2

 



0,25 đ

1.b) 3 x 5 5 A 1 x 2 x 2 x 2

           0,25 đ

Có 5 5 x 2 2 0 0 2 x 2       

 5 1 x 2

 

hoặc 5 2 x 2

 

Từ đó tính được 1 2

1 x 9;x 4  

0,25 đ

2)   n n 1 p 1 2

      n 1 n 2 p 2

    0,25 đ

Với n 2k  (ĐK: k 0  )    p k 1 2k 1     nguyên tố mà k 1 1   2k 1 1   

k 1   n 2;p 2    ( thỏa mãn) 0,25 đ

Với n 2k 1   (ĐK:k 0  )   p k 2k 3    nguyên tố mà 2k 3 1   k 1  

n 3,p 5    (thỏa mãn) 0,25 đ

Bài II

1,5 đ

a) Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: 2 x mx 2 0    . 0,25 đ

Xét phương trình 2 x mx 2 0    có   1. 2 2 0   phương trình có hai nghiệm

trái dấu với mọi m  (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm nằm về hai phía của trục tung.

0,5 đ

b) 1 2 x ;x là hai nghiệm của phương trình 2 x mx 2 0    . Theo Viet

1 2 1 2 x x m; x .x 2    0,25 đ

Tọa độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ phương trình:

2 y x

y mx 2

     

Vậy: 2 1 2 2 1 y y 24 x mx         1 2 1 2 m x x 22 m x x      2 22 m   (*)

ĐK: 2 m 22  .     2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 * m x x 22 m m x x 4x x 22 m               

  2 2 2 4 2 m m 8 22 m m 9m 22 0        

0,25 đ

Đặt 2 m t  ( đk: 0 t 22   ). Phương trình trở thành 2t 9t 22 0    1t 11  

( không thỏa mãn đk), 2t 2  thỏa mãn điều kiện 1;2 m 2   0,25 đ

ThuVienDeThi.com