Chuyên đề tứ giác

TỨ GIÁC

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

* Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD và DA; trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào

cũng không nằm trên một đường thẳng.

* Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào

của tứ giác.

* Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi.

a) Tứ giác lồi b) Tứ giác không lồi

a) Tứ giác không lồi b) Không phải tứ giác

* Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600.

* Mở rộng: Tổng bốn góc ngoài ở bốn đỉnh của một tứ giác bằng 3600.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA CƠ BẢN

Dạng 1. Tính số đo góc

Phương pháp giải: Sử dụng định lý tổng bốn góc trong một tứ giác. Kết hợp các kiến thức đã học về

tính chất dãy tỉ số bằng nhau, toán tổng hiệu... để tính ra số đo các góc.

Bài 1. Cho tứ giác ABCD biết  : : : A B C D = 4:3:2:1.

a) Tính các góc của tứ giác ABCD.

b) Các tia phân giác của C và D cắt nhau tại E. Các đường phân giác của góc ngoài tại các đỉnh C và D

cắt nhau tại F. Tính D CE và D. CF

Bài 2. Tính số đo các góc C và D của tứ giác ABCD biết A = 120°, B = 90° và   2 . C D 

Dạng 2. Tìm mối liên hệ giữa các cạnh, đường chéo của tứ giác

Phương pháp giải: Có thể chia tứ giác thành các tam giác để sử dụng bất đẳng thức tam giác.

Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh:

a) Tổng hai cạnh đối nhỏ hơn tổng hai đường chéo;

b) Tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.

Bài 4. Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác. Chứng minh:

a) MA + MB + MC + M D ≥ A B + CD;

b) MA + MB + MC + MD ≥ 1

2 (AB + BC + CD + DA).

Dạng 3.Tổng hợp

Bài 5. Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD (ta gọi tứ giác ABCD trong trường hợp này là tứ giác

có hình cánh diêu).

a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD.

b) Tính  , B D biết A = 100°, C = 60°.

Bài 6. Tứ giác ABCD có   0 50 . A B   Các tia phân giác của  , C D cắt nhau tại I và  CID = 1150. Tính

các góc  , A B .

Bài 7.

a) Chứng minh trong một tứ giác có hai đường chéo vuông góc, tổng bình phương của hai cạnh đối này

bằng tổng các bình phương của hai cạnh đối kia.

b) Tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD. Biết AD = 5cm, AB = 2 cm, BC = 10 cm. Tính độ dài CD.

Bài 8. Cho tứ giác ABCD có   A B  và BC = AD. Chứng minh:

a) ∆DAB = ∆CBA, từ đó suy ra BD = AC;

b)   D D; A C BC 

c) AB // CD.

Bài 9. Cho tứ giác ABCD, AB Cắt CD tại E, BC cắt AD tại F. Các tia phân giác của E và F cắt nhau tại

I. Chứng minh

a)    D ; 2 ABC A C EIF  

b) Nếu  0 130 BAD  và  0 50 BCD  thì . IE IF 

HƯỚNG DẪN

Bài 1. a) Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

    0 0 0 0 144 , 108 , 72 , 36 A B C D    

b) Sử dụng tổng ba góc trong tam giác tính được

 0 126 CED  .

Chú ý hai phân giác trong và ngoài tại mỗi góc

của một tam giác thì vuông góc nhau, cùng với

tổng bốn góc trong tứ giác, ta tính được

 0 54 CFD 

Bài 2. HS tự chứng minh:

  0 0 50 , 100 D C  

Bài 3.

a) Sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam

giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác

OAB, OBC,OCD và ODA.

b) Chứng minh tổng hai đường chéo lớn hơn nửa

chu vi tứ giác sử dụng kết quả của a).

Chứng minh tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu

vi tứ giác sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong

một tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các

tam giác ABC, ADC, ABD và CBD.

Bài 4.