Chuyên đề những hằng đẳng thức đáng nhớ

NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

A. LÝ THUYẾT:

1. Bình phương của một tổng:  

2 2 2 2 A B A AB B    

2. Bình phương của một hiệu:  

2 2 2 2 A B A AB B    

3. Hiệu hai bình phương:    2 2 A B A B A B    

4. Lập phương của một tổng:  

3 3 2 2 3 3 3 A B A A B AB B     

5. Lập phương của một hiệu:  

3 3 2 2 3 3 3 A B A A B AB B     

6. Tổng hai lập phương:    3 3 2 2 A B A B A AB B     

7. Hiệu hai lập phương:    3 3 2 2 A B A B A AB B     

Ngoài ra, ta có các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi

biến đổi, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,…

1. Tổng hai bình phương:  

2 2 2 2 A B A B AB    

2. Tổng hai lập phương:     3 3 3 3 A B A B AB A B     

3. Bình phương của tổng 3 số hạng:

    2 2 2 2 2 A B C A B C AB BC CA        

4. Lập phương của tổng 3 số hạng:

      3 3 3 3 3 A B C A B C A B B C C A         

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN:

Dạng 1: Biến đổi biểu thức

Phương pháp:

Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức.

Bài 1: Thực hiện phép tính:

a)  

2 3 2 x y   b)  

2 x xy  c) 2 2 4 x y  d)    2 2 2 x y y   

Giải

a) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

         2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 9 12 4 x y x x y y x xy y         

b) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

         2 2 2 2 2 2 2 2 2 x xy x x xy xy x x y x y        

c) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

     2 2 2 2 4 2 2 2 x y x y x y x y      

d) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

               2 2 2 2 2 x y y x y y x y y          

   2 2 2 x y x    

Bài 2: Thực hiện phép tính:

a)      2 2 2 2 x y x xy y x y x xy y      

b) 3 2 2 6 6 2 x x x   

c) 3 2 6 12 8 x x x   

d)     3 3 2 x y x y   

Giải

a) Áp dụng bất đẳng thức ta được:

     2 2 2 2 x y x xy y x y x xy y      

   3 3 2 2 3 3 3 3 3 2 x y x y x xy y x y x y x           

b) Ta có:   3 2 3 2 2 6 6 2 2 3 3 1 x x x x x x        .

Áp dụng bất đẳng thức ta được:    

3 3 2 2 3 3 1 2 1 x x x x      .

c) Ta có: 3 2 3 2 2 3 6 12 8 3.2 3.2 . 2 x x x x x x       

Áp dụng bất đẳng thức ta được:  

3 3 2 2 3 3.2. 3.2 .. 2 2 x x x x     

d) Áp dụng bất đẳng thức ta được:     3 3 2 x y x y   

        2 3 3 2 2 3 3 2 3 3 3. 2 3. . 2 2 x x y xy y x x y x y y        

3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 6 12 8 x x y xy y x x y xy y        

2 2 3 9 9 9 x y xy y   

Bài 3: Rút gọn biểu thức:

a)    a b c d a b c d      

b)    2 3 2 3 x y z x y z    

c)      2 2 1 1 1 1 x x x x x x      

d)     3 3 x y x y   

e)        2 2 2 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 x x x x x x        

Giải

a)    a b c d a b c d      

            2 2 . a b c d a b c d a b c d                 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ab b c cd d a b c d ab cd            

b)        2 3 2 3 3 2 . 3 2 x y z x y z x z y x z y               

    2 2 2 2 2 2 2 6 9 4 x z y x xz z y       

c)        2 2 3 3 6 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x           

d)     3 3 x y x y   

   3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 x x y xy y x x y xy y        

3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 x x y xy y x x y xy y        

  2 3 2 2 6 2 2 3 x y y y x y    

e)        2 2 2 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 x x x x x x        

      

2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 2 x x x x x x x               

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức

Phương pháp: Dạng bài toán này rất đa dạng ta có thể giải theo phương pháp cơ bản như sau:

- Biến đổi biểu thức cho trước thành những biểu thức cần thiết sao cho phù hợp với biểu thức cần

tính giá trị.

- Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức cần tính giá trị …