Đề thi học kỳ II môn Toán học 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HCM TRƯỜNG THCS- THPT PHAN BỘI CHÂU Năm học: 2014 - 2015

ĐỀ THI HỌC KỲ II MÔN: Toán – 11

(Thời gian: 90 phút- không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (2.0 điểm) Tính các giới hạn

1) lim 𝑥→‒ ∞

4𝑥2 ‒ 𝑥‒ 1 + 3𝑥

2𝑥+ 7

2) lim 𝑥→2

( 4𝑥+ 1 ‒ 3

𝑥2 ‒ 4

Câu 2: (1.0 điểm)

Cho hàm số: 𝑓(𝑥) ={

𝑥2 + 7𝑥‒ 8

𝑥+ 8 ;𝑛ế𝑢 𝑥 ≠‒ 8 𝑚 ; 𝑛ế𝑢 𝑥= ‒ 8

Tìm m để hàm số liên tục tại xo = -8

Câu 3: (1.0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm

2𝑥3 ‒ 10𝑥‒ 7 = 0

Câu 4: (1.0 điểm)

Cho hàm số 𝑓(𝑥) =

𝑚𝑥3

3 ‒

𝑚𝑥2

2 + (3 ‒ 𝑚)𝑥‒ 2

Tìm m để: với mọi 𝑓'(𝑥) > 0 𝑥

Câu 5: (1.0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) b) 𝑦=

𝑥2 ‒ 2𝑥+ 3

𝑥+ 1 𝑦= 1 + 𝑐𝑜𝑠2

𝑥

2 Câu 6: (1.0 điểm)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song 𝑦= 𝑥3 ‒ 3𝑥2 + 2 song với đường thẳng y = 9x + 1 Câu 7: (3.0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SA vuông góc với mp (ABCD) , SA = 𝑎2

a) Chứng minh: (SBD) (SAC) ⊥ b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)

-----HẾT----- (Học sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

ĐÁP ÁN TOÁN LỚP 11

ThuVienDeThi.com

CÂU 1: Tính giới hạn hàm số

𝟏) lim

𝑥→‒ ∞

4𝑥2 ‒ 𝑥‒ 1 + 3𝑥

2𝑥+ 7

= lim

𝑥→‒ ∞

|𝑥| 4 ‒

1 𝑥‒

1

𝑥2 + 3𝑥

2𝑥+ 7

𝐶ℎ𝑜 𝑥→‒ ∞ ; 𝑥< 0 ; |𝑥| =‒ 𝑥

= lim

𝑥→‒ ∞

‒ 𝑥 4 ‒

1 𝑥‒

1

𝑥2 + 3𝑥

2𝑥+ 7

= lim

𝑥→‒ ∞

‒ 4 ‒

1 𝑥‒

1

𝑥2 + 3

2 +

7 𝑥

=

1 2

𝟐) lim

𝑥→2

4𝑥+ 1 ‒ 3

𝑥2 ‒ 4

= lim

𝑥→2

(4𝑥+ 1) ‒ 9

(𝑥‒ 2)(𝑥+ 2)( 4𝑥+ 1 + 3)

= lim

𝑥→2

4(𝑥‒ 2)

(𝑥‒ 2)(𝑥+ 2)( 4𝑥+ 1 + 3)

= lim

𝑥→2

4

(𝑥+ 2)( 4𝑥+ 1 + 3)

=

1 6

(1,0đ)

0,25

0,25

0,5

(1,0đ)

0,25

0,25

0,25

0,25

CÂU 2:

𝑓(𝑥) ={

𝑥2 + 7𝑥‒ 8

𝑥+ 8 ; 𝑥≠‒ 8

𝑚 ; 𝑥=‒ 8

}

Tìm m để hàm số liên tục tại 𝑥0 =‒ 8

𝑥=‒ 8 ; 𝑓(𝑥) = 𝑚

𝑓( ‒ 8) = 𝑚

(1,0đ)

0,25

ThuVienDeThi.com

∎ 𝑥≠‒ 8 ; 𝑓(𝑥) =

𝑥2 + 7𝑥‒ 8

𝑥+ 8

lim 𝑥→‒ 8

𝑓(𝑥) = lim

𝑥→‒ 8

𝑥2 + 7𝑥‒ 8

𝑥+ 8 = lim

𝑥→‒ 8

(𝑥‒ 1)(𝑥+ 8)

𝑥+ 8

= lim

𝑥→‒ 8

(𝑥‒ 1) =‒ 9

Hàm số liên tục tại 𝑓(𝑥) 𝑥0 =‒ 8

⇔𝑓( ‒ 8) = lim

𝑥→‒ 8

𝑓(𝑥)⇔𝑚=‒ 9

0,25

0,5

CÂU 3: CM pt: có ít nhất một nghiệm số 2𝑥3 ‒ 10𝑥‒ 7 = 0

Xét hàm số liên tục trên 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 ‒ 10𝑥‒ 7 , 𝑓(𝑥) 𝑅

(1) { 𝑓(0) =‒ 7

𝑓( ‒ 1) = 1 } ⇒ 𝑓(0).𝑓( ‒ 1) =‒ 7 < 0

Hàm số liên tục trên đoạn (2) 𝑓(𝑥) [ ‒ 1,0]

(1),(2): Pt có ít nhất một nghiệm 𝑓(𝑥) = 0 𝑥0 ∈( ‒ 1,0)

(1,0đ)

0,25

0,25

0,25

0,25

CÂU 4:

𝑓(𝑥) =

𝑚𝑥3

3 ‒

𝑚𝑥2

2 + (3 ‒ 𝑚)𝑥‒ 2

Tìm để: 𝑚 𝑓'(𝑥) > 0 , ∀𝑥

∀𝑥∈𝑅 , 𝑓'(𝑥) = 𝑚𝑥2 ‒ 𝑚𝑥+ 3 ‒ 𝑚

∎ TH :𝑚= 0 : 𝑓'(𝑥) = 3 > 0 , ∀𝑥∈𝑅

∎ TH :𝑚≠0 : ycbt ⇔{ 𝑎= 𝑚> 0

△ = 𝑚(5𝑚‒ 12) < 0

⇔0 < 𝑚<

12

5

(1,0đ)

0,25

0,25

0,5

CÂU 5: Tính đạo hàm các hàm số

a) 𝑦=

𝑥2 ‒ 2𝑥+ 3

𝑥+ 1 𝑦' =

𝑥2 + 2𝑥‒ 5

(𝑥+ 1)2

(1,0đ)

0,5

0,5

ThuVienDeThi.com

b) 𝑦= 1 + cos2 𝑥

2 𝑦' = ‒

1 4

sin 𝑥

1 + cos2 𝑥

2

CÂU 6: Viết pt tiếp tuyến tt // (c)𝑦= 𝑥3 ‒ 3𝑥2 + 2 , (d)𝑦= 9𝑥+ 1

𝑓'(𝑥) = 3𝑥2 ‒ 6𝑥

𝑓'(𝑥0) = k𝑡𝑡= 9⇔3𝑥0

2 ‒ 6𝑥0 = 9⇔[

𝑥1 =‒ 1 ; 𝑦1 =‒ 2 𝑥2 = 3 ; 𝑦2 = 2 ]

Pt tt tại A( ‒ 1, ‒ 2) : 𝑦= 9𝑥+ 7

Pt tt tại B(3, 2) : 𝑦= 9𝑥‒ 25

(1,0đ)

0,25

0,25

0,25

0,25

CÂU 7:

S

H

A D

O

B C

1) CM: (𝐒𝐀𝐂) ⊥(𝐒𝐁𝐃)

{ AC ⊥BD (gt)

BD ⊥SA (gt) } ⇒ BD ⊥(SAC)

(SAC) BD ⊂(SBD)⇒(SBD) ⊥

2) Tính: (𝐒𝐂,(𝐀𝐁𝐂𝐃))

SC ∩(ABCD) = C

SA ⊥(ABCD) = A

AC = Ch SC/(ABCD)

= = (SC,(ABCD)) (CA,CS) ACS

Tính : ACS

(1,0đ)

0,5

0,5

(1,0đ)

0,5

ThuVienDeThi.com