Đề thi học kỳ II môn học Toán Khối 11

SỞ GD - ĐT TP. HCM KỲ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014 - 2015 TRƯỜNG THCS & THPT VIỆT ANH MÔN TOÁN – KHỐI 11 Thời gian: 90 phút không kể phát đề

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1. (2,0đ) Tính các giới hạn sau:

a. lim

𝑥→‒ ∞(

1 4𝑥4 ‒ 2𝑥2 + 3)

b. lim

𝑥→+ ∞

𝑥3 ‒ 2𝑥+ 5

4 ‒ 3𝑥3

c. lim

𝑥→‒ 2 +

𝑥‒ 3 𝑥+ 2

d. lim

𝑥→1

3 + 𝑥‒ 2

1 ‒ 𝑥

Câu 2. (1,5đ)

a. Xét tính liên tục của hàm số sau tại : 𝑥= 2

𝑦= 𝑓(𝑥) ={

𝑥2 ‒ 3𝑥+ 2

2𝑥‒ 4 nếu 𝑥≠2

‒

1 2 nếu 𝑥= 2

b. Chứng minh phương trình có 3 nghiệm phân biệt. 3𝑥5 ‒ 4𝑥4 ‒ 27𝑥+ 36 = 0

Câu 3. (2,0đ) Tính đạo hàm các hàm số sau:

a. 𝑦=‒ 𝑥3 + 3𝑥2 + 2

b. 𝑦= 𝑥2 + 4𝑥

c. 𝑦= tan 2𝑥‒ cos 3𝑥

d. 𝑦=

1

sin3 𝑥

Câu 4. (1,0đ) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số sau tại điểm có tung độ bằng 3.

y =

2𝑥‒ 1

𝑥‒ 1

Câu 5. (3,5đ) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a. Biết cạnh 𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆𝐵

vuông góc với đáy còn cạnh tạo với đáy một góc 𝑆𝐷 600.

a. Chứng minh . 𝐴𝐵⊥(𝑆𝐵𝐶)

b. Chứng minh 𝐴𝐷⊥𝑆𝐴.

c. Chứng minh (𝑆𝐴𝐶) ⊥(𝑆𝐵𝐷).

ThuVienDeThi.com

d. Tính diện tích tam giác . 𝑆𝐴𝐷

------------Hết ------------

CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 1 2,0

a (0,5đ) lim 𝑥→‒ ∞(

1 4𝑥4 ‒ 2𝑥2 + 3) = lim

𝑥→‒ ∞

𝑥4(

1 4 ‒

2

𝑥2 +

3

𝑥4) =+ ∞ 0,5đ

b (0,5đ)

lim 𝑥→+ ∞

𝑥3 ‒ 2𝑥+ 5

4 ‒ 3𝑥3 = lim 𝑥→+ ∞

1 ‒

2

𝑥2 +

5

𝑥3

4

𝑥3 ‒ 3

=

1 3

0,5đ

c (0,5đ) lim 𝑥→‒ 2 +

𝑥‒ 3 𝑥+ 2 =‒ ∞ 0,5đ

d (0,5đ)

lim 𝑥→1

3 + 𝑥‒ 2

1 ‒ 𝑥 = lim

𝑥→1

3 + 𝑥‒ 4

(1 ‒ 𝑥)( 3 + 𝑥+ 2) = lim

𝑥→1

‒ 1

3 + 𝑥+ 2 =‒

1 4 0,5đ

2 1,5đ

a (1,0đ)

TXĐ: D = ℝ, 𝑓(2) =‒

1 2

lim 𝑥→2

𝑓(𝑥) = lim

𝑥→2

𝑥2 ‒ 3𝑥+ 2

2𝑥‒ 4 = lim

𝑥→2

(𝑥‒ 1)(𝑥‒ 2)

2(𝑥‒ 2) = lim

𝑥→2

𝑥‒ 1

2 =

1 2

hàm số không liên tục tại . lim 𝑥→2

𝑓(𝑥) ≠𝑓(2)⟹ 𝑥= 2

0,25đ

0,5đ

0,25đ

b (0,5đ)

Đặt 𝑓(𝑥) = 3𝑥5 ‒ 4𝑥4 ‒ 27𝑥+ 36

Ta có :𝑓( ‒ 2) =‒ 70, 𝑓(0) = 36, 𝑓(

3 2) = ‒

63 32, 𝑓(2) = 14

Vậy phương trình có 3 nghiệm thuộc 3 khoảng ( ‒ 2;0), (0;3/2), (3/2; 2)

0,25đ

0,25đ

3 2,0 a. 𝑦=‒ 𝑥3 + 3𝑥2 + 2⟹𝑦' =‒ 3𝑥2 + 6𝑥

b. 𝑦= 𝑥2 + 4𝑥⟹𝑦' =

𝑥+ 2

𝑥2 + 4𝑥

c. 𝑦= tan 2𝑥‒ cos 3𝑥⟹𝑦' =

2

cos2 2𝑥

+ 3sin 3𝑥

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

ThuVienDeThi.com

SỞ GD - ĐT TP. HCM KỲ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014 - 2015

d. 𝑦=

1

sin3 𝑥

⟹𝑦' =

‒ 3sin2 𝑥.cos 𝑥

sin6 𝑥

=

‒ 3cos 𝑥

sin4 𝑥

4 1,0đ

y =

2𝑥‒ 1

𝑥‒ 1 , 𝑦' =

‒ 1

(𝑥‒ 1)2

Ta có: 𝑦0 = 3⟺

2𝑥0 ‒ 1

𝑥0 ‒ 1 = 3⟺𝑥0 = 2⟹𝑓'(2) =‒ 1

Vậy PTTT là 𝑦=‒ 𝑥+ 5

0,25đ

0,5đ

0,25đ

5 3,5đ

a (0,75đ)

Ta có là hình vuông nên 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵⊥𝐵𝐶 (1) 𝑆𝐵⊥(𝐴𝐵𝐶𝐷))⟹𝐴𝐵⊥𝑆𝐵 (2) (1) và (2) suy ra 𝐴𝐵⊥(𝑆𝐵𝐶)

0,25đ 0,25đ 0,25đ

b (0,75đ)

Ta có là hình vuông nên 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷⊥𝐴𝐵 (3) 𝑆𝐵⊥(𝐴𝐵𝐶𝐷))⟹𝐴𝐷⊥𝑆𝐵 (4) (3) và (4) suy ra 𝐴𝐷⊥𝑆𝐴

0,25đ 0,25đ 0,25đ

c (1,0đ)

Ta có là hình vuông nên 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 (3) 𝑆𝐵⊥(𝐴𝐵𝐶𝐷))⟹𝐴𝐶⊥𝑆𝐵 (4) (3) và (4) suy ra 𝐴𝐶⊥(𝑆𝐵𝐷) ⟹(𝑆𝐴𝐶) ⊥(𝑆𝐵𝐷)

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

d (1,0đ)

Do nên là hinh chiếu của xuống mp góc giữa 𝑆𝐵⊥(𝐴𝐵𝐶𝐷) 𝐵𝐷 𝑆𝐷 (𝐴𝐵𝐶𝐷)⟹ và đáy là 𝑆𝐷 𝑆𝐷𝐵= 600

Xét tam giác vuông tại có 𝑆𝐵𝐷 𝐵 𝐵𝐷= 𝑎2, 𝑆𝐵= 𝐵𝐷.tan 600 = 𝑎6 Xét tam giác vuông tại có 𝑆𝐴𝐵 𝐵 𝑆𝐴= 𝑆𝐵2 + 𝐴𝐵2 = 𝑎7 Xét tam giác vuông tại có 𝑆𝐴𝐷 𝐴

𝑆∆𝑆𝐴𝐷=

1 2𝑆𝐴.𝐴𝐷=

𝑎2 7

2 (đvdt)

0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ

ThuVienDeThi.com