Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD & ĐT huyện Gia Lộc (Có đáp án)

1

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

HUYỆN GIA LỘC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017

MÔN: TOÁN 7 (Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (2,0 điểm)

a) Thực hiện các phép tính sau:

(1) M = 3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016

(2) N = (1+2+3+...+90).(12.34 – 6.68) : 1 1 1 1 3 4 5 6         

b) Tìm x, biết: 1 1 1 1 ... 100 1.2 2.3 3.4 99.100 x x x x x         

Bài 2 (2,0 điểm)

a) Tìm P biết rằng: P = a c b b c a b c a     

b) Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 có đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a).

(1) Tìm a, viết công thức hàm số?.

(2) Với a vừa tìm được, tính giá trị của x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x).

Bài 3 (2,0 điểm)

Tìm ba số tự nhiên biết bội chung nhỏ nhất của chúng là 540 và ba số này tỉ

lệ nghịch với 5; 6 và 15

Bài 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam

giác ABM, ACN vuông cân tại A. BN và MC cắt nhau tại D.

a) Chứng minh: AMC = ABN và BN  CM.

b) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm. Tính MN.

c) Chứng minh rằng DA là phân giác của góc MDN.

Bài 5 (1,0 điểm)

Tìm x, y  N, biết: 25– y2 = 8(x–2017)2

Họ và tên học sinh: ............................................................Số báo danh: .................................

ThuVienDeThi.com

2

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

HUYỆN GIA LỘC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017

ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM

m¤N: TOÁN 7 (Đáp án và biểu điểm chấm gồm 03 trang)

Câu Nội dung Điểm Ta có: M = 3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016 3M = 32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017 Suy ra: 3M - M = (32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017 )- (3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016)

0,25

2M = 32017 – 3 (1)

M =

2017 3 3 2

.

0,25

N = (1+2+3+...+90).(12.34 – 6.68) : 1 1 1 1 3 4 5 6         

= (1+2+3+...+90).(6.2.34 – 6.68) : 1 1 1 1 3 4 5 6         

= (1+2+3+...+90).(6.68– 6.68) : 1 1 1 1 3 4 5 6         

0,25

a)

(2)

= (1+2+3+...+90). 0 : 1 1 1 1 3 4 5 6          = 0 0,25

Ta có 1 1 1 1 ... 0 1.2 2.3 3.4 99.100 x x x x         

 100x  0  x  0

0,25

Khi đó ta có: 1 1 1 1 ... 100 1.2 2.3 3.4 99.100 x x x x x          0,25

99 ô hang x

1 1 1 ( ... ) ... 100 1.2 2.3 99.100 s x x x x                0,25

1 (2,0đ)

b)

 99x + 1 1 100  =100x  x= 99

100 (thỏa mãn) 0,25

P = a c b b c a b c a      = 2( ) a b c a b c b c a b c a a b c           0,5

Nếu a+b+c 0  A= 1

2 0,25 a)

Nếu a+b+c = 0  a= –(b+c)  A=

( ) 1 a b c b c b c      

0,25

Đồ thị hàm số y = ax + 4 đi qua điểm A(a+1; a2- a) nên có: a2- a = a(a+1) +4. 0,25

 a2 - a = a2 +a + 4  a = -2. (1)

Vậy a = -2 thì đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a). 0,25

2 (2,0đ)

b) Với a = -2 ta có hàm số y = f(x) = -2x + 4  f(3x- 1) = -6x + 6; f(1- 3x) = 6x + 2. 0,25

ThuVienDeThi.com

3

Do đó: f(3x- 1) = f(1- 3x)  -6x + 6 = 6x + 2  x = 1

3 . (2)

Vậy khi x = 3

1 thì f(3x- 1) = f(1- 3x).

0,25

Gọi 3 số cần tìm là x, y, z (x, y, z  N*) Ta có 3 số tương ứng tỷ lệ nghịch với 5, 6 và 15 nên: 5x = 6y = 15z

0,5

6 5 2 x y z k     0,25

 x = 6k, y = 5k, z = 2k 0,25 BCNN (x,y,z) = 30k = 540  k = 18 0,5

3 (2,0đ)

 x = 18.6 = 108  y = 18.5 = 90  z = 18.2 = 36

0,5

-Vẽ hình, ghi đúng GT-KL

F

N

M

E

D

C B

A 0,5đ

C/minh được · · MAC BAN  (Cùng bằng 900 + ·BAC). MA = AB (MAB vuông cân tại A) AC = AN ( tam giác NAC vuông cân tại A)

0,25

 AMC = ABN(c-g-c) 0,25 Gọi giao điểm của BN với AC là F. Chỉ ra được · · AFN DFC  ( 2 góc đối đỉnh) · · ANF FCD = ( vì AMC = ABN )

0,25

a)

Từ đó suy ra · · FDC FAN = = 900

Do đó: BN  CM. 0,25

Áp dụng định lý Pi-ta-go vào các tam giác vuông MDN, BDC, MDB, NDC để C/m được hệ thức MN2 = MB2 + NC2 – BC2.

0,25 b)

Tính được MN = 21 cm 0,25

4 (3,0đ)

c) Trên tia BN lấy điểm E, sao cho BE = MD CM AMD = ABE (c-g-c) 0,25

ThuVienDeThi.com