Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực

Chuyên đề bồi dưỡng HSG

Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 1

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Hồ Đình Sinh

I. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp này là khi thấy số phương trình trong hệ ít hơn số ẩn. Tuy nhiên có những hệ số phương trình bằng số ẩn ta cũng có thể sử dụng phương pháp này. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình nghiệm dương:

( )

3 3

3

(1 )(1 )(1 ) 1

x y z

x y z xyz

+ + = ìïí + + + = + ïî

Giải: ( ) ( )

3 2 3 3 3 1 1 3 3 ( ) 1 VT x y z xy yz zx xyz xyz xyz xyz xyz = + + + + + + + ³ + + + = +

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

2 2 1 3 5 1 3 5

80

x x x y y y

x y x y

ì + + + + + = - + - + - ïí + + + = ïî

Giải: ĐK: x -1;y 5 ³ ³ Ta thấy rằng nếu ta thay x=y-6 thì phương trình thứ nhất VT=VP. Do đó, ta xét các trường hợp sau: Nếu x>y-6 thì VT>VP. Nếu x<y-6 thì VT<VP. Suy ra x=y-6. Từ đây và phương trình thứ hai ta tìm được x,y. Ví dụ 3: Giải hệ phương trình nghiệm dương

9 3 4 2

3 4 2 1 1 1 1

8 1

x y z x y z

x y z

ì + + = ï + + + í ï = î

Giải: Bài toán này có số ẩn nhiều hơn số phương trình vì vậy ta sẽ sử dụng phương pháp bất đẳng thức Nhận xét: Bậc của x,y,z ở phương trình 2 khác nhau nên ta sử dụng Cauchy sao cho xuất hiện bậc giống hệ. Từ phương trình thứ nhất ta có:

www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh và giáo viên Trung Học Phổ Thông

www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán,...

ThuVienDeThi.com

Chuyên đề bồi dưỡng HSG

Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 2

1 2 4 2 1 1 1 1 1 3 3 2 1 1 1 1 1 3 4 1 1 1 1

x y z x x y z x y z y x y z x y z z x y z

= + + + + + +

= + + + + + +

= + + + + + +

Áp dụng Cauchy cho 8 số ta có:

2 4 2

8 2 4 2

3 3 2

8 3 3 2

3 4

8 3 4 1

1 8 1 ( 1) ( 1) ( 1)

1 8 1 ( 1) ( 1) ( 1)

1 8 1 ( 1) ( 1) ( 1)

x y z x x y z

x y z y x y z

x y z z x y z

³ + + + +

³ + + + +

³ + + + +

Suy ra

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

24 32 16 9 8 3 4 2 24 32 16

9 3 4 2

1 1 1 8 1 1 1 1 1 1

8 1

x y z

x y z x y z

x y z

³ + + + + + +

Þ £

Dấu bằng xảy ra 1 1 1 1 1 9 8 x y z x y z x y z Û = = = Û = = = + + + .

Ví dụ 4: Giải hệ

4 2

2 2

697 81 3 4 4 0

x y

x y xy x y

ì + = ïí ï + + - - + = î

Giải: Ví dụ này tôi muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị của x;y nhờ điều kiện có nghiệm của tam thức bậc 2. Xét phương trình bậc 2 theo x:

2 2

2 2 ( 3) 4 4 0

( 3) 4( 2) x

x x y y y

y y

+ - + - + =

D = - - -

Để phương trình có nghiệm thì 7 0 1 3 x y D ³ Û £ £ .

Tương tự xét phương trình bậc 2 theo y ta có: 4 0 3 x £ £

Suy ra

4 2 4 2 4 7 697 3 3 81 x y æ ö æ ö + £ + = ç ÷ ç ÷ è ø è ø

4 7 ; 3 3 x y Þ = = Tuy nhiên thế vào hệ không thoả mãn dó đó hệ vô nghiệm.

Ví dụ 5: Giải hệ

5 4 2

5 4 2

5 4 2

2 2

2 2

2 2

x x x y

y y y z

z z z x

ì - + = ï - + = í ï - + = î

www.TOANTRUNGHOC.com - Toán cho học sinh và giáo viên Trung Học Phổ Thông

www.TOANTRUNGHOC.com - Đề Thi - Đáp Án - Chuyên Đề -Bài Tập - Phần Mềm Toán,...

ThuVienDeThi.com