Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 10 - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM TRƯỜNG THPT

NĂM HỌC 2016-2017

Môn thi: Toán – Lớp 10 Ngày thi: 01/3/2017 Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1 (4 điểm)

Cho parabol

2 ( ): 1 P y ax bx   .

1) Tìm các giá trị của ;a b để parabol có đỉnh 3 11 ; 2 2 S        

.

2) Với giá trị của ;a b tìm được ở câu 1, tìm giá trị của k để đường thẳng

: ( 6) 1 y x k     cắt parabol tại hai điểm phân biệt ; M N sao cho trung điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng : d 4 2 3 0 x y    .

Bài 2 (4 điểm)

1) Giải phương trình

2 26 4 . x x   

2) Giải hệ phương trình

3 3 2

2 2

2 2

1 3 3

. 3 3 4( 1) 12 4

x y y y

y x x x

          

Bài 3 (4 điểm)

Cho ba số dương , , a b c. Chứng minh

3 1 1 1 2 1 . a b c a b c b c a abc                         

Bài 4 (4 điểm)

Cho tam giác . ABC Chứng minh 0 sin 1 A B C A B B C C A        .

Bài 5 (4 điểm)

Cho hình vuông ABCD cạnh có độ dài là a. Gọi ; E F là các điểm xác định

bởi 1 , 3 BE BC    1 , 2 CF CD   

đường thẳng BF cắt đường thẳng AE tại điểm I .

1) Tính giá trị của . EACE 

theo a. 2) Chứng minh rằng · 0 90 AIC  .

---------------- HẾT ----------------

Họ tên thí sinh: ………………………………….. Số báo danh:……………………………..

ThuVienDeThi.com

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM TRƯỜNG THPT

NĂM HỌC 2016-2017

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 10 Bài HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm Bài 1 4 điểm Tìm 𝑎 ;𝑏 …. 2 điểm Câu 1

Do Parabol nên 𝑎≠0 và có trục đối xứng 𝑥= -𝑏

2𝑎= ―

3 2 nên 3𝑎- 𝑏= 0. 0,5

Tọa độ đỉnh có tung độ là 𝑦= ― ∆

4𝑎 mà ∆= 𝑏2 +4𝑎 nên ta có: 𝑏2 +4𝑎= 22𝑎 hay 𝑏2 - 18𝑎= 0

0,5

Ta có hệ pt 3𝑎- 𝑏= 0 𝑏2 - 18𝑎= 0 thế vào ta được: 𝑏2 - 6𝑏= 0 ⇒𝑏= 0 ;𝑏= 6

Nếu 𝑏= 0 ⇒𝑎= 0 loại. Nếu 𝑏= 6 ⇒𝑎= 2 thỏa mãn. Vậy 𝑎= 2;𝑏= 6 là giá trị cần tìm.

1,0

Câu 2 Tìm m … với parabol 𝑦= 2𝑥2 +6𝑥- 1 2 điểm Để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thì pt 2𝑥2 +6𝑥- 1 = 𝑘𝑥+6𝑥+1 có hai nghiệm phân biệt𝑥1; 𝑥2, hay pt: 2𝑥2 + 𝑘𝑥- 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt 𝑥1; 𝑥2 có ∆= 𝑘2 +16 > 0

0,5

Khi đó, giao điểm 𝑀(𝑥1;(𝑘+6)𝑥1 +1), 𝑁(𝑥2;(𝑘+6)𝑥2 +1),

nên trung điểm của đoạn 𝑀𝑁 là 𝐼(

𝑥1 + 𝑥2

2 ;

(𝑘+ 6)𝑥1 + 1 + (𝑘+ 6)𝑥2 + 1

2 ). 0,5

Theo định lý Viet ta có 𝑥1 + 𝑥2 = -𝑘

2 nên 𝐼( ―

𝑘 4;2 ― 𝑘- 𝑘2

2 ) 0,5

Do I thuộc đường thẳng 4𝑥+2𝑦- 3 = 0 nên –𝑘+2 ― 𝑘- 𝑘2 - 3 = 0 hay 𝑘2 +2𝑘

+1 = 0 hay 𝑘= ― 1 thì thỏa mãn bài toán.

0,5

Bài 2 4 điểm Giải phương trình …. 2điểm

Phương trình tương đương 𝑥- 4 ≥0

26 ― 𝑥2 = (𝑥- 4)2⇔𝑥≥4

2𝑥2 - 8𝑥- 10 = 0 1,0

Câu 1

Giải ra ta được x=5 thỏa mãn pt. Vậy phương trình có nghiệm là x=5. 1,0

Giải hệ phương trình … 2 điểm

Điều kiện xác định:

𝑥≠0

4(𝑦- 1)2 ≥3

𝑥2 12 ― 3

𝑥2 ≥0

Từ pt (1) ta có: 𝑥3 = (𝑦- 1)3 hay 𝑥= 𝑦- 1 thế vào pt (2)

0,5

Ta được 4𝑥2 -

3 𝑥2 + 12 ― 3

𝑥2 = 4𝑥2.

Đặt 𝑎= 4𝑥2 > 0;𝑏=

3 𝑥2 > 0, pttt: 𝑎- 𝑏+ 12 ― 𝑏= 𝑎

0,5

Hay 12 ― 𝑏= 𝑎- 𝑎- 𝑏 ⇒12 ― 𝑏= 𝑎2 - 2𝑎𝑎- 𝑏+ 𝑎- 𝑏 Do 12 = 𝑎𝑏 nên pt trở thành: 𝑎2 - 2𝑎𝑎- 𝑏+ 𝑎- 𝑎𝑏= 0 do 𝑎≠0 nên ta có (𝑎- 𝑏) - 2 𝑎- 𝑏+1 = 0 hay 𝑎- 𝑏= 1.

0,5

Câu 2

Tức là 4𝑥2 -

3 𝑥2 = 1 hay 𝑥= ± 1 Nếu 𝑥= 1 ⇒𝑦= 2 nên nghiệm là (𝑥;𝑦) = (1;2). Nếu 𝑥= ― 1 ⇒𝑦= 0 nên nghiệm là (𝑥;𝑦) = ( ― 1;0) Vậy hệ có hai nghiệm trên.

0,5

ThuVienDeThi.com