Giáo án BDHSG Toán 9 - Trường THCS Thanh Mỹ

Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013

Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 1

PHÒNG GD-ĐT NINH HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC: 2009-2010

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức: = cotg450 5 3 29 12 5   

Bài 2: (4đ) Cho biểu thức       2 4 1 4 1 1 1 1 4 1

x x x x Q x x x

                 a) Tìm điều kiện của x để Q có nghĩa b) Rút gọn biểu thức Q

Bài 3: (3,5đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 4 y x x y M xy   

Bài 4: (3,75đ) Chứng minh rằng nếu    

2 2

1 1 x yz y xz x yz y xz      với , 1, 1, 0, 0, 0 x y yz xz x y z      

thì 1 1 1 x y z x y z     

Bài 5: (3,75đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC. Từ đỉnh M vẽ góc 450 sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F.

Chứng minh rằng: EF

1 4 M ABC S S   

Bài 6(2đ): Cho hình vuông cạnh a. Đường tròn tâm O, bán kính a cắt OB tại M .D

là điểm đối xứng của O qua C . Đường thẳng Dx vuông góc với CD tại D cắt CM

tại E. CA cắt Dx tại F. Đặt :MDC 

a/ Chứng minh AM là phân giác của . Tính độ dài DM, CE theo a và :FCB 

b/ Tính độ dài CM theo a . Suy ra giá trị của sin

Hết

Giám thị không giải thích gì thêm

ĐỀ CHÍNH ỨC

ThuVienDeThi.com

Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013

Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 2

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Bài Nội dung – Yêu cầu Điểm 1

5 3 29 12 5     

2 5 3 2 5 3    

5 6 2 5   

 

2 5 5 1   

= 1 = cotg450

1đ

0,5đ

0,75đ

0,25đ

0,5đ 2a Q có nghĩa và 1 x   2 x  0,5đ 2b

      2 4 1 4 1 1 1 1 4 1

x x x x Q x x x

                

   

2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4

x x x x x Q x x x

               

 

2 2

2

1 1 1 1 2 1 2

x x x Q x x

       

1 1 1 1 2 2 1

x x x Q x x

        * Nếu 1 < x < 2 ta có: 1 1 1 1 2 2 1 x x x Q x x         2 1 Q x  * Nếu x > 2 ta có: 1 1 1 1 2 2 1 x x x Q x x        2

1 Q

x 



0,75đ

0,75đ

0,25đ

0,5đ

0,25đ

0,25đ

0,5đ

0,25

3 Với điều kiện ta có: 1, 4 x y   0,25đ

ThuVienDeThi.com

Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013

Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 3

B

M P

M = 4 1 y x

x y

 

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm,

Ta có:   1 1 1 1 1 2 2 x x x x      

(vì x dương) 1 1 2 x

x

  

Và:   1 1 4 4 4 4 4 2 2 2 4 y y y y        

(vì y dương) 4 1 4 y

y

  

Suy ra: M = 4 1 1 1 3 2 4 4 y x

x y

    

Vậy giá trị lớn nhất của M là x = 2, y = 8 3 4 

0,75đ

0,5đ

0,75đ

0,5đ

0,25đ

0,5đ

4

   

2 2

1 1 x yz y xz x yz y xz           2 2 x yz y xyz y xz x xyz      

2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 0 x y x yz y z xy z xy xy z x z x yz               2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 0 x y xy x yz xy z x z y z x yz xy z                  2 2 2 2 2 0 xy x y xyz x y z x y xyz x y               

2 0 x y xy xyz x y z x y xyz             (vì )    

2 0 xy xyz x y z x y xyz        0 x y x y      

2 xy xz yz xyz x y xyz      

(vì )  

2 xyz x y xyz xy xz yz xyz xyz

      0 xyz 

1 1 1 x y z x y z      

0,25đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ 0,5đ 0,5đ

0,5đ

0,5đ 5

ThuVienDeThi.com