Chuyên đề Một số bài toán cực trị trong tổ hợp

CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO BỒI DƯỠNG HSG LỚP 9 NĂM 2015

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP

TRẦN NGỌC THẮNG GV THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC, TỈNH VĨNH PHÚC

Chuyên ngành toán tổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của Toán

học nói chung và toán rời rạc nói riêng. Nội dung của toán tổ hợp phong phú và được

ứng dụng nhiều trong thực tế đời sống. Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng xuất hiện trong

rất nhiều bài toán với độ khó rất cao. Tổ hợp có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ

như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như một công cụ đắc lực của

các mô hình rời rạc của giải tích, đại số, hình học...

Với vai tròn quan trong toán học như vậy nên trong hầu hết các kì thi học sinh giỏi

quốc gia, thi Olimpic toán quốc tế, thi Olimpic sinh sinh viên giữa các trường đại học và

cao đẳng, các bài toán liên quan đến tổ hợp thường là các bài toán rất khó, là những bài

tập phân loại học sinh rất tốt.

Phương pháp giải các bài toán tổ hợp thường rất phong phú và đa dạng. Nhìn chung

để giải một bài toán tổ hợp thông thường học sinh phải sáng tạo ra phương pháp và cách

thức tiếp cận bài toán. Do đó khi giảng dạy phần tổ hợp thì điều quan trọng là với mỗi

bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một cách cụ thể để học sinh hiểu

được ý tưởng cũng như mục đích của bài toán. Để cho việc giảng dạy toán phần tổ hợp

đạt được kết quả tốt, chúng tôi mạnh dạn viết chuyên đề "sử dụng số phức để giải một

số dạng toán tổ hợp" để trao đổi với các thầy, cô giáo về phương pháp giảng dạy các bài

toán tổ hợp.

Trong chuyên đề này, một số dạng bài tập được chọn lọc là các đề ra của các kì thi

học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, Olimpic sinh viên giữa các trường đại học trên thế giới

những năm gần đây.

Chuyên đề được chia làm hai phần chính:

I. Phần bài tập minh họa

II. Phần bài tập tương tự

Những bài toán tổ hợp xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh giỏi những năm gần

đây thường là các bài tập hay và khó, có độ phân hóa cao giữa các đối tượng học sinh.

Với thời gian ngắn thì học sinh thường rất khó để giải quyết được các bài toán dạng này

ThuVienDeThi.com

và đây cũng là vấn đề rất nan giải trong công tác ôn luyện học sinh giỏi của đa số giáo

viên. Số lượng cũng như số dạng bài toán tổ hợp là rất nhiều (có thể nói là vô hạn) nên

giáo viên không thể dạy hết tất cả được, mà cần phải có phương pháp hiệu quả nhất để

trang bị cho học sinh cách tiếp cận cũng như các kiến thức cơ sở trong việc giải quyết

các bài toán tổ hợp. Chuyên đề được hoàn thành với sự giúp đỡ nhiệt tình cả về nội

dụng và hình thức của các thầy, cô giáo trong tổ toán - tin, BGH trường THPT chuyên

Vĩnh Phúc. Do thời gian và trình độ có hạn nên trong bài viết chỉ đề cập đến một khía

cạnh rất nhỏ của dạng toán tổ hợp, rất mong nhận được góp ý và các phương pháp hiệu

quả để việc giảng dạy phân môn này có hiệu quả hơn.

I.MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1. Cho tập hợp và là tập hợp con của tập có tính chất nếu: tích của 3 M X T

phần tử phân biệt bất kì trong đều không là số chính phương. Tìm số phần tử lớn M

nhất của . M

Lời giải. Xét 4 tập hợp rời nhau có 3 phần tử và tích của 3 phần tử đều là số chính

phương:

     1,4,9 , 2,7,14 , 5,12,15 , 3,6,8

Nếu tập hợp có tính chất thì có ít nhất một phần tử trong mỗi tập trên không M T

thuộc suy ra . Giả sử : Do có tính chất nên mỗi tập trong 4 tập M 11 M  11 M  M T

hợp phải có đúng hai phần tử thuộc M và các phần      1,4,9 , 2,7,14 , 5,12,15 , 3,6,8

tử . Khi đó với tập hợp ta xét các trường hợp sau: 10,11,13 M    5,12,15

+) . Do nên không được 5,12 2 M M    7,14 8 3,6 M M M     2 3.12 6  M

chứa một phần tử nào của vô lí.   1,4,9

+) . Do vô lí. 5,15 3 M M   6,8 2 7,14 M M M      2 7.14.8 28 

+) . Do nên không được chứa một phần tử nào 12,15 6 M M    3,8 M  2 3.12 6  M

của vô lí. Vậy . Mặt khác nếu ta lấy   1,4,9 10 M    1,4,5,6,7,10,11,12,13,14 M 

Vậy số phần tử lớn nhất của tập hợp là 10. M

Bài 2. Cho tập hợp và là tập hợp con …