Tuyển tập các bất đẳng thức thường gặp

TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP 1) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng b a b a    Giải: Cách 1: Ta có: 2 2 ) ( ) ( b a b a b a b a       

0 2

2

 

    

ab

b a b ab a

(Bất đẳng thức đúng vì a, b > 0 nên 2 ) 0  ab Vậy b a b a   

Cách 2: (vì 22 ) b a ab b a b a b a         2 ) ( 2 0  ab

2) Chứng minh rằng: x2 + 3 + 3 10 3 1

2   x Giải:

Áp dụng bắt đẳng thức cô- si cho hai số dương và ta có: 9

3 2  x

3 1

2  x

3 10 3 8 3 2 3. 9 8

3

1 . 9

3 2 )3 ( 9 8

3

1 9

3

3

1 3 2

2 2 2

2

2 2     

          

x

x x x

x

x x

3) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng:

2 3       b a

c c a

b c b

a

Giải:

0 ) )( ( ). ( ) )( ( ). ( ) )( ( ). (

0 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) (

0

0 2 1 2 2 1 2 2 1 2

0 2 1 2 1 2 1

2 3

  

    

    

  

      

          

          

    

                  

  

    

    

  

         

     

b a c a

c b c b c b b a

c a c a c a c b

b a b a

b a c a c b b a c b c a c a c b b a

b a

b c b a

a c c a

c b c a

a b c b

c a c b

b a

b a

b a c c a

c a b c b

c b a

b a

c c a

b c b

a

b a

c c a

b c b

a

(BĐT đúng) 0 ) )( (

) ( ) )( (

) ( ) )( (

) ( 2 2 2

  

   

   

  b a c a

c b c b b a

c a c a c b

b a

Vậy 2 3       b a

c c a

b c b

a

4) Cho a + b 1. Chứng minh rằng a2 + b2 1   Ta có: a + b 1  1 ) ( 2    b a Mà (a – b)2 0. Do đó (a + b)2 + (a - b)2 1  

2 1 ) (

1 ) ( 2

1 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

  

  

      

b a

b a

b ab a b ab a

5) Cho a > b, b > c, c > 0. Chứng minh rằng: ab c b c c a c     ) ( ) ( Giải:

ThuVienDeThi.com

Ta có: ab c b c c a c     ) ( ) (

2 2)) ( ) ( ( ab c b c c a c     

 2 2) ( ab c b c c c a     Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki

2 2 ) )( ( ) ( ab ab c b c c c a c b c c c a          

Vậy ab c b c c a c     ) ( ) (

6) Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng: 2 , ,   c b a 5 2 2 2    c b a Giải:

0 2 , ,   c b a

  

   

 

  

   

 

0 ) 2 )( 2 )( 2 (

0

0 2, 2, 2

0 , ,

c b a abc

c b a

c b a

4 ) ( 4 8 ) ( 2

0 2 2 2 4 4 4 8

0 ) 2 )( 2 )( 2 (

         

         

     

c b a ac bc ab

abc ac bc ab c b a abc

c b a abc

a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab+bc+ca)  5 4 32    7) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a2b + b2c + c2a + a2c + c2b + b2a - a3 - b3 - c3 > 0 Giải: Vì a, b, c là độ fài ba cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức ta có: b + c > a, c + a > b, a + b > c

a2(b + c) > a2. a ; b2(c + a) >b2.b ; c2(a + b) > c2.c 

a2b + a2c > a3; b2c + b2a >b3 ; c2a + c2b > c3 

a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b > a3 + b3 + c3 

a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b - a3 - b3 - c3 > 0 (đpcm)  8) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 Giải: a < b + c (bất đẳng thức tam giác)

a + a < a + b + c 

2a < 2 a < 1. Tương tự b < 1, c < 1   Ta có: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0

(1 – b – a + ab)(1 - c) > 0 

1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0 

1 – (a + b + c) =ab + bc + ca > 0  Nên abc < -1 + ab + bc + ca

2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca 

a2 + b2 + c2 + 2abc < a2 + b2 + c2 – 2 + 2ab + 2bc + 2ca 

a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – 2 

a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – 2 (vì a + b + c = 2) 

9) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng:

3 3 3

2 2          b a b a

Giải:

3 3 3

2 2          b a b a 0 2 2

3 3 3

           b a b a

0 2 2

) )( (

3 2 2

             b a b ab a b a

ThuVienDeThi.com