Hướng dẫn giải 30 bài toán về dãy các số viết theo quy luật

1

HD GIẢI 30 BÀI TOÁN VỀ DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

(Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán )

Tài liệu này hệ thống 9 loại dãy số viết có quy luật, từ đó ra thành 30 bài toán để HSG có thể rèn luyện, với mỗi dạng có công thúc tổng quát dễ áp dụng.

Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:

a) 3, 8, 15, 24, 35, ... b) 3, 24, 63, 120, 195, ... c) 1, 3, 6, 10, 15, ... d) 2, 5, 10, 17, 26, ... e) 6, 14, 24, 36, 50, ... f) 4, 28, 70, 130, 208, ... g) 2, 5, 9, 14, 20, ... h) 3, 6, 10, 15, 21, ... i) 2, 8, 20, 40, 70, ...

 Hướng dẫn:

a) n(n+2) b) (3n-2)3n c) n(n + 1):2 d) 1+n2 e) n(n+5) f) (3n-2)(3n+1) g) n.(n + 3):2 h) n.[( n+1)( n + 2) ] :2 i) n.[( n+1)( n + 2) ] : 3

Bài 2: Tính giá trị của A, biết:

a) A = 1+2+3+…+(n-1)+n b) A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100

Hướng dẫn:

a) Tổng các giá trị của dãy số tự nhiên từ 1 đến n thay giá trị n vào => tính được A

A = 1+2+3+…+(n-1)+n = n (n+1):2 [*1]

ThuVienDeThi.com

2

b) Nhân 2 vế với 3, trong đó từ số hạng thứ 2 thay vì nhân 3 ta nhân (4-1)=3

3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300

Tổng quát: Dãy số b) với số cuối cùng là n thì:

Bài 3: Tính giá trị của A, biết:

A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101

Hướng dẫn: thay thừa số 3, 4, 5, 6.....101 bắng (2+1), (3+1), (4+1).....(100 +1) Ta có

A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99)

A = 333300 + 4950 = 338250 Dãy đầu áp dụng công thức [*2] , Dãy sau công thức [*1]

Tổng quát: A = 0.1 + 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1) Lưu ý số hạng đầu =0 với n=1 A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2

Bài 4: Tính: A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 = ?

Hướng dẫn: thay thừa số 4, 5, 6.....102 bắng (2+2), (3+2), (4+2).....(100 +2) ta có :

A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99)

A = 333300 + 9900 = 343200 Dãy đầu áp dụng công thức [*2] , Dãy sau công thức [*1]

Bài 5: Tính:

A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +.…+ (n – 1) n = ⅓.n. (n – 1 ).(n + 1) [*2]

A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1) =n/6 [ (n-1) .(2n+1) ] [*3]

ThuVienDeThi.com

3

A = 4+12+24+40+...+19404+19800

Hướng dẫn: Chia 2 vế cho 2 ta có ½.A = 1.2+2.3+3.4+4.5+...+98.99+99.100 Áp dụng công thức [*2] t ính ra A= 666600

 Bài 6: Tính: A = 1+ 3 + 6 +10 +...+4851+4950 = ?

Hướng dẫn: Nhân 2 vế với 2 và biến đổi để vế phải là dạng [*2]; ta có

2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 = 333300 => A= 333300:2 = 166650

Bài 7: Tính: A = 6+16+30+48+...+19600+19998 =?

Hướng dẫn: Chi 2 vế cho 2 và biến đổi để vế phải là dạng [*3]; ta có

½ A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101 => A = 338250 x 2 = 676500

Bài 8:Tính: A = 2+5+9+14+...+4949+5049 =?

Hướng dẫn: Nhân 2 vế với 2 ta đưa về dạng Bài 4 (ở trên)

2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 A = 343200:2 = 171600

Bài 9: Tính: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100 = ?

Hướng dẫn: Nhân 2 vế với 4 và biến đổi ta có

4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97) 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 => A = 2449755 Tổng quát:

Bài 10: Tính tổng các bình phương của 100 số tự nhiê n đầu tiên A = 12 +22 +32+...+992 +1002

Hướng dẫn:

A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n = ¼ .(n-2)(n-1)n(n+1) [*4]

ThuVienDeThi.com