4 cách Chứng minh tam giác cân với 2 phân giác bằng nhau - Bài toán ngắn mà cực khó

1

4 cách CM tam giác cân với 2 phân giác bằng nhau

Bài toán ngắn mà cực khó

Trong các đề toán hay, “đề càng ngắn càng khó”, đó là nhận xét của thời mình còn học phổ thông. Đây là 1 đề như vậy: Chứng minh, tam giác có 2 phân giác bằng nhau thì đó là tam giác cân Đề này chỉ trong chương trình lớp 6 – 7 nhưng có đến 90% HS lớp 10 – 12 phải “cắn bút”. Nhân có 1 số cháu HS hỏi, mình soạn lại mấy cách giải đề này để tham khảo.

1/- Bài chứng minh thứ nhất Giả thiết ∆ABC có DB là phân giác B, CD là phân giác C [1] và DB = CE. Cách 1: Dựng đường tròn (O) ngoại tiếp ∆DBC; ta chứng minh được rằng: - Đường tròn này phải cắt phân giác của góc C tại E để có CE = BD (như gt). Khi ấy, ABC = ACB vì chắn 2 dây cung bằng nhau. - Giả sử đường tròn O không cắt phân giác ở E thì xảy ra 2 trường hợp:

+ Cắt ở M mà CM < CE thì MBD < EBD nghĩa là DB không còn là phân giác của ABC điềù này trái với giả thiết. + Cắt ở N mà CN > CE, tương tự sẽ có  NBD > EBD cũng trái với Giả thiết [1].  Vậy đường tròn chỉ có thể cắt phân giác của góc C ở E là đúng  ABC là tam giác cân.

Cách 2: Dựng đường tròn (O) ngoại tiếp ∆DBC; Qua C kẻ dây cung CM có độ dài bằng BD. Ta chứng minh được rằng CM trùng CE vì nếu M rơi vào điểm M' thì CM' không phải là phân giác của C.

Tương tự, nếu M rơi vào N’ thì CN’ cũng không còn là phân giác của  C Vậy ta có tứ giác DEBC nội tiếp đường tròn O với 2 góc chắn 2 dây cung bằng nhau nên DCB = EBD  ∆ABC cân

ThuVienDeThi.com

2

2/- Bài chứng minh thứ 2 (Phản chứng gián tiếp)

Ta chứng minh trước 1 bài toán coi như Bổ đề cho bài CM chính Bổ đề: “Hai tam giác cân trên cùng 1 cạnh đáy, tam giác nào có cặp cạnh bên lớn hơn thì sẽ có cặp góc ở đáy lớn hơn”

Giả sử có ABC và A’BC với AB chung; Đương cao AH và A’H cùng trên trung trực của AB Nếu A’B > AB thì SA’BH > S ABH  A’BH > ABH . Tương tự có  A’CH > ACH

Giải bài chính *Trong tam giác CAB có 2 phân giác AN=BP. Qua N kẻ MN//AB; Qua P kẻ PQ//AB. Giả sử MN không trùng PQ thì vẫn có các cặp góc so le bằng nhau tai các cặp đường song song : MAN = MNA &  PBQ = QPB  Có 2 tam giác cân ∆AMN và ∆PQB  AM = MN, & PQ = QB *Xét 2 tam giác cân AMN và PQB có cặp cạnh đáy bằng nhau AN=BP (gt) Giả sử MN>PQ  MN >BQ & AM > BQ Thì theo Bổ đề trên có: MAN >PBQ 2.MAN > 2.PBQ MAB> NBA (Phân giác chia đôi 2 góc) *Trong hình thang MNBA, cạnh bên đối diện góc lớn hơn thì lớn hơn cạnh bên kia AM<BN [1] Mà ta lại có AM = MN > PQ = QB >BN  AM > BN đối chiéu [1] thì vô lý  Điều giả sử ban đầu là vô lí ! Vây chỉ có thể là MN≡PQ & AM = BN [2 ] *Đến đây dễ dàng có ∆AMB = ∆BNA ( c.c.c)   MAB = NBA hay ∆CAB cân ở C

ThuVienDeThi.com

3

3/- Bài chứng minh thứ 3 Đề: Cho tam giác ABC có 2 đường phân giác BD và CE bằng nhau. Chứng minh tam giác ABC cân tại A

Giải Cách 1: Kẻ đường Ex // BD và Dy // BE; giao điểm của Ex và Dy là F ta có hình bình hành BDFE  DFE = DBE = 1/2ABC ; BD=EF và DF=BE Giả sử ABC >ACB (1)  trong ∆ABC 2 cạnh đối diện tương ứng AC > AB và AC+BC > AB+BC Chia 2 vế của 2 BĐT cùng dấu cho nhau ta có:

Theo giả thiêt : BD/BC=AD/AC =AB/(AC+BC) và CE/BC=AE/AB=AC/(BC+AB)  CE/BC≥BD/BC=>CE≥BD <=> CE≥EF => EFC ≥ ECF

Xét tam giác DFC cân tại D (DF=DC)  DFC=DCF <=> DFE+EFC=DCE+ECF  DFE≤DCE <=> 1/2ABC≤1/2ACB  ABC≤ACB (2) Từ (1) và (2) suy ra ABC=ACB = ∆ABC cân tại A (đpcm)

4/- Bài chứng minh thứ 4

Giải: (Cách CM phản chứng qua công thức lượng giác) Xét ∆ ABC có BD và CE là hai phân giác, BD = CE Đặt BC = a ; CA = b ; AB = c, các công thức phân giác: BD² = 2ac.cos(B/2) /(a+c) CE² = 2ab.cos(C/2) /(a+b) [♥] ta cũng chú ý rằng (B/2) và (C/2) là hai góc nhọn nên cos(B/2) < cos(C/2) nếu B/2 > C/2 (nghịch biến)

Theo giả thiết: BD = CE  2ac.cos(B/2) /(a+c) = 2ab.cos(C/2) /(a+b)  c(a+b) /b(a+c) = cos(C/2) /cos(B/2) (*)

* giả sử B > C  B/2 > C/2  cos(B/2) < cos(C/2)

ThuVienDeThi.com