Chuyên đề Phương trình nghiệm nguyên

Chuyên đề : Phương trình nghiệm nguyên

1

Chuyên đề: Phương trình nghiệm nguyên

Phần I:

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

A. Tóm tắt lý thuyết.

1.Số 2 là số nghuyên tố chẵn duy nhất.

2.Phương trình được đưa về dạng f(x).g(x) = k với f(x) và g(x) là các đa thức hệ số

nguyên. Ta phân tích k ra thừa số nguyên tố rồi giải các hệ phương trình.

với m.n = k. ( ) ( ) f x m g x n     

3.Phương trình đối xứng các ẩn của x, y, z.....Khi tìm nghiệm nguyên dương ta có

thể giả sử 1  x  y  z .....

4.Không tồn tại số chính phương nằm giữa hai số chính phương liên tiếp.

B. các dạng toán Thường gặp.

Dạng 1: Sử dụng phép chia hết và chia có dư.

Hai vÕ của phương trình nghiệm nguyên khi chia cho cùng một số có số

dư khác nhau thì phương trình đó không có nghiệm nguyên.

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau. (1) 2 2 2 x y 

Giải:

Rõ ràng x = y = 0 là nghiệm của (1).

Nếu và là nghiệm của (1). Gọi , suy ra 0 0 , 0 x y  0 0 ( , ) x y 0 0 ( , ) d x y  0 0 , 1. x y d d      

Ta có: chẵn chẵn, vô lý.

2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 x y x x y d d d                

2 0 0 2 4 y x d d       



Vậy phương trình (1) chỉ có nghiệm nguyên duy nhất là (0,0).

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau. (1) 2 2 2 5 x y  

Giải:

1)Nếu thì vô lý. 5 x     2 2 2 2 2 5 5 5 2 25 y x y x y        

2)Nếu thì từ ta có và suy ra 5 x  5 y  2 1(mod5) x  2 1(mod5) y 

. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên. 2 2 2 1, 3(mod5) x y  

ThuVienDeThi.com

Chuyên đề : Phương trình nghiệm nguyên

2

Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng bình phương của ba số nguyên trong phép

chia cho 8 không thể có dư là 7 từ đó suy ra phương trình

không có nghiệm nguyên. 2 2 2 4 25 144 2007 x y z   

Giải:

Giả sử: mà nên suy ra 2 2 2 7(mod8) x y z    0, 1, 2, 3 ,4(mod8) x    2 0,1,4(mod8) x 

nhưng vô lý. Vậy 2 2 7,6,3(mod8) y z   2 2 0,1,2,4,5,(mod8) y z   2 2 2 7(mod8) x y z    

Phương trình đã cho có thể viết: Từ đó suy ra phương 2 2 2 (2 ) (5 ) (12 ) 6 125 7 x y z     

trình không có nghiệm nguyên.

Ví dụ 4: Giải phương trình sau trên tập số nguyên: 4 4 4 1 2 7 .... 2008. x x x    

Giải:

1)Nếu x = 2k thì . 16 x

2)Nếu x = 2k + 1 thì vì và . 4 2 1 ( 1)( 1)( 1) 16, x x x x      ( 1)( 1) 8 x x    2 ( 1) 2 x  

Vậy Do đó khi chia tổng cho 16 có số dư không 4 0;1(mod16) x  4 4 4 1 2 7 .... x x x   

vượt quá 7, trong khi đó . Suy ra phương trình không có nghiệm 2008 8(mod16) 

nguyên.

Dạng 2: Phương pháp phân tích.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: a( x+ y ) + b = cxy ( với a, b, c  Z ) (1)

Ta có: (1)

2 ( ) ( ) a a cxy ay b y cx a cx a b c c         

2 ( )( ) . cx a cy a a bc     

Phân tích với m, n  Z, sau đó lần lượt giải các hệ: 2 . a bc m n   cx a m

cy a n

      

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2( ) 16 3 x y xy   

Giải:

Ta có: 2( ) 16 3 3 2 2 16 x y xy xy x y       

2 4 (3 2) (3 2) 16 (3 2)(3 2) 52 3 3 y x x x y          

Giả sử: khi đó và 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta có các hệ sau: x y  1 3 2 3 2 x y    

3 2 1 ; 3 2 52 x

y

      

3 2 2 ; 3 2 26 x

y

      

3 2 4 ; 3 2 13

x

y

      

ThuVienDeThi.com