Các cách nhìn khác nhau đối với một bài toán

CÁC CÁCH NHÌN KHÁC NHAU ĐỐI VỚI MỘT BÀI TOÁN

Tiếp cận lời giải của một bài toán, chúng ta có những cách nhìn, quan niệm khác nhau. Nhờ việc thay đổi cách nhìn và quan niệm đó chúng ta sẽ có những cách giải khác nhau cho một bài toán. Sau đây là một bài toán như vậy:

Bài toán: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh:

√ + √ + √ √

Bài giải

Cách 1: Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

√

√ √

( )

( )

( )

√

√ √

( )

( )

( )

√

√( ) √

( )

( )

( )

Cộng các vế tương ứng (1), (2) và (3) ta được: √

(√ √ √ )

[ ( )] ⇔ √ √ √ √ .

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1/3 .

Cách 2: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

√ + √ + √ √( )( ) = √ . Dấu “=” xảy ra khi

√

= √

= √

⇒ a = b = c mà a + b + c = 1

Cách 3: Dùng hình học giải tích trong không gian.

Đặt √ √ + √ (x,y,z > 0)

www.MATHVN.com

www.DeThiThuDaiHoc.com

ThuVienDeThi.com

{√ √ √ ( )

( )

Với m là tham số, ta có: là phương trình mặt phẳng. là phương trình mặt cầu tâm I(0;0;0) và bán kính r = √ . Theo bài ra thì hệ sau phải có nghiệm:

{ ( )

( ) . Tức là mặt phẳng (1) phải cắt mặt cầu (2). Điều này xãy ra khi

khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (1) phải phải nhỏ hơn hoặc bằng bán kính r, tức là ta có:

| |

√ √ ⇔ | | √ m √ hay √ + √ + √ √ .

Dấu “=” xảy ra khi mặt phẳng (1) tiếp xúc với mặt cầu (2). Ta tìm tọa độ tiếp điểm của chúng:

Đường thẳng qua I(0;0;0) và vuông góc với mặt phẳng: √ là: (d): {

Giao điểm của (d) với mặt cầu là K 3t2 = 2 ⇔ t = √

(vì t > 0) x = y = z = √

K(√

√

√

)

a = b = c = 1/3 .

Cách 4: Dùng phương pháp biến đổi kết hợp với BĐT cauchy:

Đặt P = √ + √ + √ > 0 P2 = 2(a + b +c) + 2( √ . √ + √

.√ + √ √ ) P2 2 + 2.[

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

] ⇔ P2 2 +

2.

( )

= 6 ⇔ P √ (do P > 0). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1/3 .

Cách 5: Dùng phương pháp biến đổi:

Đặt √ √ + √ {

√ ( ) √

(*)⇔ ( ) ⇔ ( ) (

) ⇔ (x2-2xy+y2)+(y2-2yz+z2)+(z2-2zx+x2) ⇔ (x-y)2 +(y-z)2+(z-x)2 (luôn đúng)

Vậy (*) đúng, hay BĐT đã cho đúng. Dấu “=” xảy ra khi x = y = z a = b = c = 1/3 .

Cách 6: Dùng phương pháp biến đổi:

www.MATHVN.com

www.DeThiThuDaiHoc.com

ThuVienDeThi.com

Đặt √ √ + √ {

√ ( ) √

(*)⇔ ( ) ⇔ [ ( )] (

) ⇔ . Áp dụng BĐT Cauchy ta có: ;

; . Vậy BĐT đã cho là đúng. Dấu “=” xảy ra khi x = y = z a = b = c = 1/3 .

Cách 7: Dùng định lý thuận của tam thức bậc hai:

Với mọi x ta luôn có:

{

( √ )

( √ ) ( √ )

⇔ {

√ ( ) ( )

√ ( ) ( ) √ ( ) ( )

Cộng vế với vế (1), (2) và (3) ta được: (√ √ √ ) ( ) ⇔ (√ √ √ ) (*). Do (*) đúng với

mọi x nên hay (√ √ √ )2 ⇔ √ √

√ √ . Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1/3 .

Cách 8: Dùng đạo hàm khảo sát hàm số:

Ta có: √ √ √ √ ⇔ √ √ √ √ (*). Do a,b,c

( ) nên ta có: 5 - 3a ; 5 – 3b – .

(*)⇔

( – )√

( – ) +

( – )√

( – ) +

( – )√

( – ) √ (**). Xét hàm số f(x) = √

( – ) với x )

Có f ‟(x) =

( ) √ với x ) f ‟(x) = 0 ⇔ x = 1/3. Ta có bảng biến thiên:

X 0 1/3 1 f „(x) + 0 - f(x) √

1/5 0

www.MATHVN.com

www.DeThiThuDaiHoc.com

ThuVienDeThi.com

Do x ) nên 5 – 3x > 0 (5 – 3x).f(x) (5 – 3x).f(1/3) hay 5 – 3x).f(x) (5 – 3x). √

Thay x lần lượt bởi a, b, c thì ta có: VT(**) √

(5 – 3a + 5 – 3b + 5 – 3c) = √ . Vậy (*) đúng,

tức là √ √ √ √ . Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1/3 .

Cách 9:Dùng phương pháp dồn biến kết hợp với đạo hàm khảo sát hàm số :

Ta có: √ √ √ = √ √ √ . Lại có: (√ √ )2 =

2a + b + c + 2√ ( ) = 1 + a + 2√ ( ) 1 + a + 2√ (

)

= 1 + a + 2√ (

) = 1 + a + 2√

= 1 + a + √ = 2(a + 1) (vì

a ( )). √ √ √ ( ) √ √ √ √

√ ( ) Xét hàm số f(a) = √ √ ( ) , với a ( ) Không mất tính tổng quát,

giả sử a = Max{a;b;c} 1 = a + b + c 3a

a < . Ta có: f „(a) =

√

√ ( )

Xét f „(a) 0 ⇔ 4(1 – a) 2(1 + a) ⇔ a 1/3 f „(a) = 0 ⇔ a = 1/3. Ta có bảng biến thiên

của f(a) với a [

) như sau:

A 1/3 1 f „(a) + 0 - + f (a)

√ 2

Vậy

( )

[

) = √ tại a = 1/3 hay ta được √ √ √ √ . Dấu “=” xảy ra

khi a = b = c = 1/3 .

Cách 10: Dùng định lý vi-et và điều kiện có nghiệm của bất phương trình bậc hai :

Đặt √ √ + √

{

⇔

√

{

⇔

√

{

( )

√

.

Áp dụng định lý Vi-et ta có điều kiện cần để tồn tại x, y …