Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức

Bất đẳng thức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt

2

PHƯƠNG PHÁP 1: Sử dụng định nghĩa và biến đổi tương đương. 1.Cơ sở lí thuyết: Ta sử dụng một số biến đổi sơ cấp để đưa bất đẳng thức cần phải chứng minh về một bất đẳng thức mới mà bất đẳng thức mới luôn đúng hoặc có thể chứng minh được đúng. 2.Một số ví dụ minh họa Ta có thể biến đổi tương đương trực tiếp hoặc đặt ẩn phụ rồi biến đổi tương đương A.Biến đổi tương đương trực tiếp

VD1: Cho a,b,c>0.Cmr: 2 2

2

2 2

2

2 2

2

b a

c a c

b c b

a b a

c a c

b c b

a

           (1)

Giải

(1)  0 ) ( ) ( ) ( 2 2

2

2 2

2

2 2

2

            b a

c b a

c a c

b a c

b c b

a c b

a

 0 ) )( ( ) )( ( ) )( ( 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

  

     

    

  

b a b a

cb ca b c a c a c a c

ba bc a b c b c b c b

ac ab c a b a

 0 ) )( (

) ( ) ( ) )( (

) ( ) ( ) )( (

) ( ) (

2 2 2 2 2 2   

     

     

  

b a b a

b c cb a c ca a c a c

a b ab c b bc c b c b

c a ac b a ab





 



       

 



      ) )( (

1 ) )( (

1 ) ( ) )( (

1 ) )( (

1 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 b a b a a c a c c b bc a c a c c b c b b a ab

0 ) )( (

1 ) )( (

1 ) ( 2 2 2 2  

 



      

c b c b b a b a a c ca (2)

Do a,b,c>0 nên nếu b a  thì:







     

 

0 ) )( (

1 ) )( (

1

0

2 2 2 2 a c a c c b c b

b a

 0 ) )( (

1 ) )( (

1 ) ( 2 2 2 2  

 



     

a c a c c b c b b a ab

Nếu b a  thì:







     

 

0 ) )( (

1 ) )( (

1

0

2 2 2 2 a c a c c b c b

b a

 0 ) )( (

1 ) )( (

1 ) ( 2 2 2 2  

 



     

a c a c c b c b b a ab

Như vậy ta luôn có: 0 ) )( (

1 ) )( (

1 ) ( 2 2 2 2  

 



     

a c a c c b c b b a ab

ThuVienDeThi.com

Bất đẳng thức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt

3

Tương tự: 0 ) )( (

1 ) )( (

1 ) ( 2 2 2 2  

 



     

b a b a a c a c c b bc

0 ) )( (

1 ) )( (

1 ) ( 2 2 2 2  

 



      

c b c b b a b a a c ca

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên  (2) luôn đúng với a,b,c>0

 đpcm.

VD2: Cho  1;0 , ,  c b a .Cmr: 1 ) 1 )( 1 )( 1( 1 1 1              c b a b a

c a c

b c b

a

Giải: Do vai trò của a,b,c như nhau nên có thể giả sử: 1 , , 0   c b a

Đặt 1     c b a S 

c S

a a S

a c b

a

      1 (1)

 c S

b b S

b a c

b

      1 (2)

Ta cm cho: 1 1 ) 1 )( 1 )( 1(  

     b a

c c b a (3)

 0 1 1 ) 1 )( 1( ) 1(     

      b a b a c

 0 1

1 )1 )( 1( ) 1(   

       b a

b a ab b a c

 0 1

1 1 ) 1(

2 2 2 2

  

             b a

ab ab b a b b ab a ab a b a c

 0 1 ) 1(

2 2 2 2

  

     b a

ab b a ab b a c

 0 1

) )( 1 ( ) 1(   

   b a

b a a b c .Điều này luôn đúng vì  1;0 , ,  c b a .

Từ (1),(2),(3)

 1 1 ) 1 )( 1 )( 1( 1 1 1                       c S

c c S

c c S

b c S

a c b a b a

c a c

b c b

a

 đpcm. VD3:

Cho n n n n a x a x a x a x p       

1 1 1 0 ... ) ( có n nghiệm phân biệt,    n n ,2 . Chứng tỏ: 2 0 2 1 2 )1 ( n n a n   (1) Giải

(1) 

0

2

2

0

1 2 )1 ( n n a a n   

  

  (2)

ThuVienDeThi.com