Đồng Dư Thức

Đồng Dư Thức 1.Định nghĩa: Cho số nguyên dương 1 n > . Hai số nguyên ,a b được gọi là dồng dư theo modulo n nếu chúng cho cùng số dư khi chia cho n . Kí hiệu: b a ≡ (mod n) 2.Tính chất: a)Các tính chất: +Nếu

   ≡

≡

) (mod '

) (mod '

n b b

n a a

Thì ta có :

) (mod

) (mod ' '. .

) (mod ' '

) (mod ' '

n b a

n b a b a

n b a b a

n b a b a

k k ≡

≡

− ≡ −

+ ≡ +

Như vậy ta có thề cộng, trừ, nhân, và nâng lên lũy thừa các đồng dư thức theo cùng một modun b)Luật giản ước: +Nếu ( ) n c a c a mod '. . ≡ và ( ) 1 , = n c thì ) (mod ' n a a ≡ Bây giờ chúng ta sẽ đi vào một số vấn đề đồng dư thức có nhiều ứng dụng trong khi giải các bài toán số học 3.Hệ thặng dư đầy đủ Định nghĩa: Mỗi tập hợp A nào đó được gọi là một hệ thăng dư đầy đủ (mod n) nếu vớI bất kì số x∈Z tồn tạI duy nhất một a∈A để x ) (modn a ≡ Chẳng hạn A={ } 1 ,....., 2,1,0 − n là một hệ thặng dư đầy đủ theo mod n Dễ thấy : Một tập A={ } n a a a ,....., , 2 1 gồm n số sẽ là một hệ thăng dư đầy đủ theo modun n

Khi và chỉ khi ) (modn a a j i ≅ (ta tạm kí hiệu “không đồng dư” là ≅) với j i ≠ và

i,j∈{ } n ,....., 2,1 Thí dụ 1:

Xét dãy 2

)1 ( + = k k U k (k=1,2…) .Chứng minh rằng nếu s n 2 = (s>1) thì trong dãy

trên có thể chọn được một hệ thăng dư đầy đủ modun n. Giải:Xét n số ) ,..., 2,1 ( 1 2 n k U k = − Ta chỉ cần chứng minh với mọi n j i ≤ < ≤ 1 thì ) (mod 1 2 1 2 n U U j i − −≅

Giả sử ngược lại ∃ n j i ≤ < ≤ 1 mà

ThuVienDeThi.com

) (mod 1 2 1 2 n U U j i − −≡

)1 )( (mod 0 )1 2 2 )( (

) (mod )1 2 ( )1 2 (

n i j i j

n j j i i

≡ − + − ⇔

− ≡ − ⇔

Do s n 2 = (s>1) nên n không có ước lẻ. Từ (1) ) (modn i j ≡ ⇒ (Vô lý) Thí dụ 2: Cho 2 hệ thặng dư đầy đủ modun n

{ } { } n

n b b b B

a a a A

,......, ,

,....., ,

2 1

2 1 =

=

Chứng minh rằng: Nếu n là số chẵn thì tập { } n n b a b a b a B A + + + = + ,........, , 2 2 1 1 không là hệ thặng dư đầy đủ modulo n Giải: Nếu A là hệ thặng dư đầy đủ thì

) (mod 2

)1 ( ......... 2 1 ........ 2 1 n n n n a a a n

+ ≡ + + + ≡ + + +

Vì n chẵn và ( ) , 1 1 n n + = nên 0 2

)1 ( ≅ + n n (mod n )

Nếu A B + là hệ thặng dư đầy đủ vớI n chẵn thì ) (mod 0 ) ( ........ ) ( ) ( 2 2 1 1 n b a b a b a n n ≅ + + + + + + nhưng ) ( ........ ) ( ) ( 2 2 1 1 n n b a b a b a + + + + + + = + + + + ) ........ ( 2 1 n a a a ) ........ ( 2 1 nb b b + + +

2

)1 ( + ≡ n n + ( 1) ( 1) 2 n n n n + = + ) (mod 0 n ≡

Đây là điều vô lý. 4. Định lý Fermat: Cho số nguyên tố p.Khi đó với mọi số nguyên a ta đều có: ) (mod p a a p ≡

Ngoài ra nếu (a,p)=1 thì ) (mod 1 1 p a p ≡ − Chứng minh: Định lý Fermat có khá nhiều cách chứng minh, ở đây chúng tôi sẽ giới thiệu đến các bạn cách chứng minh không phải ngắn nhất, tuy nhiên ý tưởng trong cách chứng minh là nên học hỏi. Nếu a p  thì ta có ngay điều phải chứng minh.

Nếu ( ) , 1 a p a p / ⇒ =  . Trước hết chúng ta nhắc lại một tính chất của số nguyên tố. “ Cho p là một số nguyên tố, khi đó tập các số , 1, 1 ai i p = − là hệ thặng dư thu gọn

modulo p , trong đó ( ) , 1 a p = ”

Từ tính chất trên ta suy ra

1 1 1

1 1

1(mod ) (mod )

p p p p

i i ai i a p a a p

− − −

= = ≡ ⇒ ≡ ⇒ ≡ ∏ ∏ .

Tóm lại trong mọi trường hợp ta đều có điều cần chứng minh.

ThuVienDeThi.com