Chuyên đề Giải phương trình nghiệm nguyên

Chuyên Đề: Giải Phương trình nghiệm nguyên

I-Phương trình nghiệm nguyên dạng:

ax + by = c (1) với a, b, c  Z

1.Các định lÝ:

a. Định lÝ 1: Điều kiện cần và đủ để phương trình ax + by = c (trong đó a,b,c là các số nguyên khác 0 ) có nghiệm nguyên (a,b) là ước của c.

b.Định lÝ 2: Nếu (x0, y0) là một nghiệm nguyên của phương trình ax + by = c thì nó có vô số nghiệm nguyên và nghiệm nguyên (x,y) được cho bởi công thức:

Với t є Z, d = (a,b)  

 



 

 

t d

a y y

t d

b x x

0

0

2.Cách giải:

Bước 1: Rút ẩn này theo ẩn kia (giả sử rút x theo y)

Bước 2: Dựa vào điều kiện nguyên của x, tính chất chia hết suy luận để tìm y

Bước 3: Thay y vào x sẽ tìm được nghiệm nguyên

Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:

2x + 5y =7

Hướng dẫn:Ta có 2x + 5y =7  x = 2

5 7 y 

 x = 3 – 2y + 2 1 y 

Do x, y nguyên  nguyên. Đặt = t với (t є Z ) 2 1 y 

2 1 y 

 y = 1 – 2t  x = 3 – 2(1- 2t) + t = 5t + 1

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

x = 5t + 1

y = -2t +1 (t є Z )

Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên

6x – 15 y = 25

Hướng dẫn:

Ta thấy( 6,15 ) = 3 mà 3/25

ThuVienDeThi.com

Vậy không tồn tại x,y nguyên sao cho 6x- 15y = 25

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình.

5x + 7y = 112

Hướng dẫn:

Ta có 5x + 7y = 112

 x = = 22 - y + 5

7 112 y 

5

2 2 y 

Do x, y nguyên  nguyên hay (2 – 2y) 5  2(1-y) 5; (2 , 5) = 1 5

2 2 y   

 (1-y) 5 hay (y-1) 5 . Đặt y-1 = 5t (t є Z )  

 y = 5t +1

thay y vào x ta có x = 21 – 7t

lại có x > 0; y > 0  5t + 1 > 0 t > - 5

1

21 – 7t > 0 t < 3

 t =   2 ; 1 ; 0

Nếu t = 0  x = 21; y = 1

Nếu t = 1  x = 14; y = 6

Nếu t = 2  x = 7; y = 11

II. Phương trình nghiệm nguyên đưa về dạng

g (x1, x2,…., xn) . h (x1, x2,…., xn) = a (3) Với a є Z

1.Cách giải:

Đặt g (x1, x2,…., xn) = m (với m là ước của a)

 h(x1, x2,…., xn) = a

m

Giải hệ: g (x1, x2,…., xn) = m

h(x1, x2,…., xn) = a

m

tìm được x1, x2,…., xn thử vào (3) ta được nghiệm của phương trình.

2.Chú ý:

-Nếu a = 0 ta có g (x1, x2,…., xn) = 0

h(x1, x2,…., xn) = 0



ThuVienDeThi.com

-Nếu a = p với p nguyên tố thì từ pt (3) ta có: g (x1, x2,…., xn) = p1

h(x1, x2,…., xn) = p2

Với 1 + 2 = a

Ví dụ 4: Tìm x, y є Z biết x – y + 2xy = 6

Hướng dẫn: Ta có x – y + 2xy = 6  2 x – 2y + 4 xy = 12

 2 x – 2y + 4 xy –1 = 11  (2x – 1) + 2y(2x-1) = 11 (2x – 1) (2y + 1) = 11

Ta có 11 = 1.11= (-1)(-11) = 11.1 = (-11)(-1)

Ta có 2y + 1 = 1  (x; y) = (6; 0)

2x – 1 = 11

2y + 1 = -1  (x; y) = (-5; -1)

2x – 1 = -11

2y + 1 = 11  (x; y) = (1, 5)

2x – 1 = 1

2y + 1 = -11  (x; y) = ( 0; -6)

2x – 1 = -1

Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 1 + x + x2 + x3 = 2y

Hướng dẫn: Ta có 1 + x + x2 + x3 = 2y  (1 + x) (1 + x2) = 2y

 1 + x = 2 m và 1 + x2 = 2y – m (m nguyên dương)

 x = 2 m – 1  x2 = 22m – 2 m +1 + 1

x2 = 2y – m - 1 x2 = 2y – m – 1

 22m – 2m + 1 + 1 = 2 y – m - 1

 2 y – m – 22m + 2m +1 = 2

Nếu m = 0  x = 0 ; y = 0 (t/m)

Nếu m > 0  2 y – m – 1 – 22m – 1 + 2m = 1 mà 22m – 1và 2m đều là số chẵn nên:

 2 y – m – 1 lẻ  2 y – m – 1 = 1  y – m – 1 = 0  y = m + 1

 2 m - 22m – 1 = 0  2 m = 22m – 1  m = 2m – 1  m = 1

 y = 2 ; x = 1

Vậy (x, y) = (0; 0); (1; 2)

III. Phương trình nghiệm nguyên đưa về dạng

[g1 (x1, x2,…., xn)]2 + [g2 (x1, x2,…., xn)]2 + …+ [gn (x1, x2,…., xn)]2 = 0

ThuVienDeThi.com