Một số phương pháp giải bài toán cực trị ở THCS

Một số phương pháp giải bài toán cực trị ë THCS

I . kiến thức cơ bản 1. Các định nghĩa

1.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y,...) xác định trên miền D :

M. được gọi là GTLN của f(x,y,...) trên miền |D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn :

1. f(x,y,...)  M (x,y,..)  |D 2.  (x0, y0,...)  |D sao cho f(x0, y0...) = M. Ký hiệu : M = Max f(x,y,..) = fmax với (x,y,...)  |D

1.2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y,...) xác định trên miền |D :

M. được gọi là GTNN của f(x,y,...) trên miền |D đến 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn :

1. f(x,y,...)  M (x,y,..)  |D 2.  (x0, y0,...)  |D sao cho f(x0, y0...) = M. Ký hiệu : M = Min f(x,y,..) = fmin với (x,y,...)  |D 2. Các kiến thức thường dùng

2.1. Luỹ thừa : a) x2  0 x  |R  x2k  0 x  |R, k  z  - x2k  0 Tổng quát : f (x)2k  0 x  |R, k  z  - f (x)2k  0 Từ đó suy ra : f (x)2k + m  m x  |R, k  z M - f (x)2k  M b)  0 x  0  ( )2k  0 x0 ; k z x x Tổng quát : ( )2k  0  A 0 (A là 1 biểu thức) A 2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối : a) |x|  0  x|R b) |x+y|  |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra  x.y  0 c) |x-y|  |x| - |y| ; nếu "=" xảy ra  x.y  0 và |x|  |y| 2.3. Bất đẳng thức côsi :

ai  0 ; i = : nN, n 2. n ,1 n

n n a a a n

a a a ..... . ....

2 1 2 1    

dấu "=" xảy ra  a1 = a2 = ... = an 2.4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với n cặp số bất kỳ a1,a2,...,an ; b1, b2, ...,bn ta có : (a1b1+ a2b2 +...+anbn)2  ( ) .... ).( .... 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 n n b b b a a a      

Dấu "=" xảy ra  = Const (i = )

i

i b a n ,1

2.5. Bất đẳng thức Bernonlly : Với a  0 : (1+a)n  1+na n N. Dấu "=" xảy ra  a = 0.

Một số Bất đẳng thức đơn giản thường gặp được suy ra từ bất đẳng thức (A+B)2  0.

ThuVienDeThi.com

a. a2 + b2  2ab b. (a + b)2  4ab c. 2( a2 + b2 )  (a + b)2 d.

e.

II. Một số phương pháp cơ bản

giải bài toán cực trị đại số

Phương pháp 01 ( Sử dụng phép biến đổi đồng nhất ) Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dương) và những hằng số. Từ đó :

1.Để tìm Max f(x,y,...) trên miền |D ta chỉ ra :

sao cho f(x0,y0,...) = M   

 



R y x

M y x f

| ....) , (

...) , (

0 0 2. Để tìm Min f(x,y,...) trên miền |D ta chỉ ra :

sao cho f(x0,y0,...) = m   

 



R y x

m y x f

| ....) , (

...) , (

0 0 I. Các vi dụ minh hoạ : 1. Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A1 = x2 + 4x + 7 Giải :Ta có : A1 = x2 + 4x + 7 = x2 + 4x + 4x + 3 = (x + 2)2 + 3  3 vì (x + 2)2 0.

 A1 min = 3  x + 2 = 0  x = -2 Vậy A1 min = 3  x = -2 2. Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của A2 = -x2 + 6x - 15 Giải :Ta có : A2 = -x2 + 6x - 15 = - (x2- 6x + 9) - 6

A2 = - (x - 3)2 - 6  - 6 do -(x - 3)2  0 x |R  A2 max = - 6  x - 3 = 0  x = 3 Vậy A2 max = - 6  x = 3 3. Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 Giải : Ta có : A3= (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 = (x-1) (x-8) (x-4) (x-5) + 2002 = (x2-9x + 8) (x2 - 9x + 20) + 2002= {(x2-9x + 14) - 6}.{(x2-9x + 14) + 6} + 2002 = (x2-9x + 14)2 - 36 + 2002 = (x2-9x + 14)2 + 1966  1966 vì (x2-9x + 14)2 0 x

 A3 min = 1966  x2-9x + 14 = 0  . Vậy A3 min = 1966    

 

7 2 x x

  

 

7 2 x x

4. Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A4 = )1 ( 1 2

1 10 2

2

2

  

  x x x

x x

Giải :Ta có: A4 = 2 2

2

2

2

)1 (

9 1 6 2 )1 (

9 )1 ( 6 )1 2 (2 1 2

1 10 2

     

       

 

x x x

x x x x x

x x

= - vì - 3 3 1 1 3

2

          x x x           0 1 1 3

2

2  a

b b a

b a a b    4 1 1

ThuVienDeThi.com