Chuyên đề Cực trị đại số

A. Một số vấn đề về bất đẳng thức đại số: Bất đẳng thức là một trong những vấn đề lí thú nhất trong giải tóan phổ thông. Trong mục này chúng ta sẽ ôn lại một số bất đẳng thức cổ điển và tiếp cận một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Do khối lượng kiến thức là tương đối lớn nên một số khái niệm,tính chất cơ bản đều được bỏ qua. Các bạn có thể tìm thây những tính chất này này Sách Giáo Khoa của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo. Dưói đây là các nội dung trong chuyên đề này. a)Bất đẳng thức Cauchy i)Bất đẳng thức Cauchy có lẽ là đã quen thuộc với nhiều bạn . Ngay từ năm lớp 8,các bạn đã bắt gặp các bất đẳng thức như:

3

4

2

3

4

x y xy

x y z xyz

x y z t xyzt

+ ≥

+ + ≥

+ + + ≥

Trong đó , , , x y z t là các số thực không âm Những bất đẳng thức có dạng này được gọi là bất đẳng thức Cauchy. Bất đẳng thức Cauchy tổng quát có dạng như sau: Cho 1 2 , ,..., n x x x là các số thực không âm. Khi đó ta có bất đẳng thức sau: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... n x x x = = =

Đại lượng 1 2 ... n x x x n + + + được gọi là trung bình cộng của các số 1 2 , ,..., . n x x x

Đại lượng 1 2... n

n x x x được gọi là trung bình nhân của các số 1 2 , ,..., . n x x x Do đó bất đẳng thức Cauchy còn có tên gọi khác là bất đẳng thức TBC-TBN (bất đẳng thức giữa đại lượng trung bình cộng và đại lượng trung bình nhân). Bất đẳng thức Cauchy có nhá nhiều cách chứng minh. Tuy nhiên do khuôn khổ quyển sách nên ở đây,tác giả chỉ nêu ra cách chứng minh điển hình nhất. Phương pháp chứng minh này cũng đa gắn liền với một tên gọi: “Quy nạp Cauchy”. Các bạn có thể tham khảo thêm về phương pháp này trong phần phương pháp Quy Nạp. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh đúng khi 2k n = Trước hết ta chứng minh cho trường hợp cơ sở , 1. k = Ta cần chứng minh 2 2 ( ) 0. x y xy x y + ≥ ⇔ − = Bất đẳng thức tương đương là đúng do đó bất đẳng thức ban đầu cũng đúng. Giải sử bất đẳng thức đã đúng cho k m = , tức là

1 2 1 2 ... ... n n

n x x x x x x n + + + ≥

ThuVienDeThi.com

1 2 2 2 1 2 2 ... ... 2

m m

m m x x x x x x + + + ≥

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức cũng đúng cho 1. k m = +

Ta có:

1 1 1 1

1 1 2 3 4 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 ... ... ... 2 2

m m m m m m m x x x x x x x x x x x x

+ + + +

+ − + + + + + + + ≥ ≥

(Ở trên ta đã sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng cặp số

2 1 2 2 2 1 2 2 2 , 1,2 1 m k k k k x x x x k + + + + + ≥ ∀= − sau đó sử dụng bất đẳng thức Cauchy

cho 2m số 1 1 1 2 3 4 2 1 2 , ,..., m m x x x x x x + + − .

Như vậy bất đẳng thức Cauchy đã đúng cho vô số số hạng. Bây giờ ta sẽ chứng minh nếu 1 n m = + đúng thì bất đẳng thức cũng đúng cho . n m = Thực vậy,áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 1 m + số 1 2 1 2 , ,..., , ... m m m x x x x x x ta có:

1 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

... ... ( 1) ... ...

... ... ( 1) ... .

... ...

... ... .

m m m m m m m

m m m m m

m m m

m m m

x x x x x x m x x x x x x

x x x x x x m x x x

x x x m x x x

x x x x x x m

+ + + + + ≥ +

⇔ + + + + ≥ +

⇔ + + + ≥

+ + + ⇔ ≥

Như vậy theo nguyên lý Quy nạp Cauchy ta có điều cần chứng minh. Nhận xét rằng bất đẳng thức cơ sở chỉ xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi x y = do đó trong bất đẳng thức tổng quát của ta sâu bằng cũng chỉ xảy ra khi và chỉ khi

1 2 x ... n x x = = = . Ta có nhiều cách nhìn nhận về bất đẳng thức Cauchy, ví dụ như cho các số thực dương có tổng không thay đổi thì giá trị lớn nhất của tích các số này là gì, hoặc ngược lại ,tức là tìm giá trị nhỏ nhất của các số thực dương có tích không đổi. Cũng cần lưu ý với các bạn rằng trong bất dẳng thức Cauchy,điều kiện các số thực không âm là quan trọng, ví dụ với 2 1 n k = + , ta có thể chỉ ra ví dụ với các số thực gồm 2k số 1 − và một số 2k thì bất đẳng thức không còn đúng nữa. ii)Bất đẳng thức Cauchy mở rộng Trong phần này ta hãy xem xét bất đẳng thức Cauchy có trong số.Ta hãy khởi đầu bằng bất đẳng thức cho hai số thực dương trước. Cho các số nguyên dương a,b,c,d và hai số thực dương x,y. Khi đó: Bất đẳng thức trên còn được gọi là bất đẳng thức Young. Chứng minh bất đẳng thức được …