Chuyên đề Phương pháp giải phương trình vô tỉ

1

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1. Bình phương 2 vế của phương trình

a) Phương pháp  Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : , ta thường A B C D    bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau    3 3 3 3 3 3 3 . A B C A B A B A B C       

và ta sử dụng phép thế : ta được phương trình : 3 3 A B C   3 3 . . A B A B C C   

b) Ví dụ Bài 1. Giải phương trình sau : 3 3 1 2 2 2 x x x x       Giải: Đk 0 x  Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được: , để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó      1 3 3 1 2 2 1 x x x x x      

nhưng hơi phức tạp một chút . Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình :

3 1 2 2 4 3 x x x x     

Bình phương hai vế ta có : 2 2 6 8 2 4 12 1 x x x x x       Thử lại x=1 thỏa

Nhận xét : Nếu phương trình :     f x g x h x k x   

Mà có : , thì ta biến đổi phương trình về dạng :     f x h x g x k x   

sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả     f x h x k x g x   

Bài 2. Giải phương trình sau :

3

2 1 1 1 3 3 x x x x x x

        Giải: Điều kiện : 1 x  Bình phương 2 vế phương trình ? Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?

Ta có nhận xét : , từ nhận xét này ta có lời giải như

3

2 1. 3 1. 1 3 x x x x x x

       sau :

3

2 1 (2) 3 1 1 3 x x x x x x

        

Bình phương 2 vế ta được:

3

2 2 1 3 1 1 2 2 0 3 1 3

x x x x x x x x

            Thử lại : l nghiệm 1 3, 1 3 x x  

Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình :     f x g x h x k x   

Mà có : thì ta biến đổi   . . f x h x k x g x      f x h x k x g x   

2. Trục căn thức

2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung

a) Phương pháp

ThuVienDeThi.com

2

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trình 0x

luôn đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc   0 0 x x A x    0 A x 

chứng minh vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta  0 A x 

có thể đánh gía vô nghiệm  0 A x 

b) Ví dụ

Bài 1 . Giải phương trình sau :   2 2 2 2 3 5 1 2 3 1 3 4 x x x x x x x         

Giải: Ta nhận thấy : v      2 2 3 5 1 3 3 3 2 2 x x x x x             2 2 2 3 4 3 2 x x x x      

Ta có thể trục căn thức 2 vế :  

2 2 2 2 2 4 3 6

2 3 4 3 5 1 3 1

x x

x x x x x x x

   

       

Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .

Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : 2 2 12 5 3 5 x x x     

Giải: Để phương trình có nghiệm thì : 2 2 5 12 5 3 5 0 3 x x x x        

Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng

, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :   2 0 x A x  

 

 

2 2 2 2

2 2

2 2

4 4 12 4 3 6 5 3 3 2 12 4 5 3

2 1 2 3 0 2 12 4 5 3

x x x x x x x x

x x x x x x

                

                  

Dễ dàng chứng minh được :

2 2 2 2 5 3 0, 3 12 4 5 3

x x x x x

         

Bài 3. Giải phương trình : 2 3 3 1 1 x x x    Giải :Đk 3 2 x  Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình

 

 

   2 2 3 3

2 3 2 2 3 3

3 3 9 3 1 2 3 2 5 3 1

2 5 1 2 1 4

x x x x x x x x

x x x

                            

Ta chứng minh :

   

2 2 2 2 2 3 3 3

3 3 1 1 2 1 2 1 4 1 1 3

x x

x x x

         

2

3

3 9

2 5

x x

x

  

 

Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3 2.2. Đưa về “hệ tạm “

a) Phương pháp Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà : A B C   A B C    ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau : x

, khi đĩ ta có hệ: A B C A B A B

      

2 A B C A C A B

 

       

  

ThuVienDeThi.com