8 Cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với nhau

1

8 Cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với nhau

I. MỘT SỐ CÁCH THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG:

 Cách 1: (Theo Định nghĩa 2 đường thẳng vuông góc): Hai đường thẳng cắt nhau hoặc 2 tia thẳng tạo ra góc đo 900; Thí dụ: - 1.a/ Trường hợp A, B , C là 3 góc của TG vuông mà B + C = 900  A = 1800 – 900 = 900 - 1.b/Trường hợp góc nội tiếp chắn 1/2 đường tròn (1800:2 = 900) - 1.c/Trường hợp 2 đường thẳng giao nhau chia đường tròn thành 4 phần bằng nhau (3600:4 = 900 ) - 1.d/ Trường hợp góc tạo bởi 2 phân giác của 2 góc kề bù

 Cách 2: Theo Hệ quả của 2 đường thẳng song song 2.1 Đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.

2,2 – Hai đường song song với hai đường vuông góc đã biết.

Có c//a; Nếu b a  b c  

Có a b; d//a; c//b  c d  

Thực ra các bài toán chứng minh hình học (HH Eclide) chưa ai đưa ra được phương pháp nào chung nhất, vì mỗi bài toán có các khía cạnh khác nhau. Tuy nhiên, phương pháp chứng minh hình dù đơn giản nhất cũng phải có logic chặt chẽ, suy luận từ các điều đã biết (đã được CM hoặc công nhận) để đưa ra kết luận. Chứng minh 2 đương thẳng vuông góc cũng thế, không có “Công thức” có sẵn mà chỉ có thể tạm hệ thống 1 số “mẹo/cách”để vận dụng. Mời các bạn tham khảo 8 cách với 20 Bài toán dưới đây.

ThuVienDeThi.com

2

 Cách 3: Dùng tính chất của ba đường cao và cạnh đối diện trong một tam giác. Trong ∆ABC có AH BC; CI AB    BO AC tại K 

 Cách 4: Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung.

AB là dây cung trong đường tròn O Néu AM = MB  OM AB 

 Cách 5: Phân giác của hai góc kề bù nhau. Có xOz kề bù zOy Nếu O1 = O2 và O3 = O 4  O2 + O3 = 90O hay Om On 

 Cách 6: Sử dụng góc nội tiếp nửa đường tròn. Trên đường tròn tâm O, đường kính AB  Mọi đỉểm M trên đường tròn đều có AM BM

ThuVienDeThi.com

3

 Cách 7: Sử dụng tính chất đường trung trực.

Có H là trung điểm của AB; Điểm M cách đều A và B  MH AB

 Cách 8: Tính chất tiếp tuyến và đường kính của đường tròn.

Nếu đường tròn O tiếp xúc với MA hoặc MB tại A hoắc B thì OA MA và OB MB

Có một số bài toán chỉ cần áp dụng 1 trong số các cách trên, nhưng nhiều bài toán phải vận dụng cùng lúc nhiều cách. Khi làm bài nên chọn những cách gọn và sáng sủa; nếu có điều kiện thì trình bày nhiều cách.

II. BÀI TOÁN MINH HOẠ

 Bài toán 1 Cho hình bình hành ABCD, BH là đường cao từ B tới AD. Từ A kẻ AF//và = BH; Từ F kẻ FE// và = AD. CMR tứ giác ADEF là hình chữ nhât.

Giải (Áp dụng cách 1 & 2) Dễ dàng CM được 4 góc của ADEF đều = 900 (các cặp cạnh kề đều vuông góc nhau). vì: AF//BH; FE//AD mà AD  BH AF  FE và AF AD FE// và = AD nên DE// và = AF tương tự ta có FE ED; ED DA.  Vậy ADFE là hình chữ nhật

 Bài toán 2

ThuVienDeThi.com

4

Chứng minh rằng đường trung bình của tam giác luôn vuông góc với đường cao hạ tới cạnh tương ứng của đường trung bình: Giải ( theo cách 2 ) Giả sử có ∆ ABC với DE là đường TB tương ứng với cạnh BC thì DE//BC. Đường cao AH (hạ từ A tới đáy BC)  AH  BC  AH  DE (ĐPCM) Điều KL này đúng với cả khi AH không ở trong ∆ ABC.

 Bài toán 3 Từ tính chất của hình thoi: có 4 cạnh bằng nhau và các cặp cạnh đối diện song nhau từng đôi một, hãy chứng minh 2 đương chéo hình thoi vuông góc với nhau.

Giải (Áp dụng cách 7) Do hình thoi có 4 cạnh bằng nhau và các cặp cạnh đối diện song nhau từng đôi một nên 2 đường chéo chia hình thoi thành 4 tam giác bằng nhau (g.c.g)  2 đường chéo cắt nhau ở trung điểm. (AO = OC; BO = OD) Dễ dàng thấy trong TG cân ABC thì BO vừa là trung tuyến vừa là trung trực của cạnh AC.  BO  AC  BD  AC (ĐPCM)

 Bài toán 4 Cho ABC, các đường cao BD và CE. A Gọi I là trung điểm của DE, K là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: KI ED? 

Giải ; ( Bài này chỉ cần CM 1 trong 2 cách sau:) a/ / CM theo cách thứ 4 Theo GT có: BEC = 900 và BDC = 900

ThuVienDeThi.com