Chuyên đề Đại số 9 Dãy số có quy luật

Chuyên đề đại số 9

dãy số có quy luật *******************

Chú ý : Có bốn cách thông thường để làm loại toán này

- Cách 1 : Truy toán - Cách 2 : Phân tích đánh giá số hạng tổng quát - Cách 3 : Dùng quy nạp toán học - Cách 4 : Đưa về tính ngiệm của một phương trình - Cách 5 : Vận dụng tổng hợp các cách đã học -

Ví dụ 1 : Cho có 100 dấu căn 2 2 2 ... 2 A      Chứng minh A không phải là một số tự nhiên

Giải : Dễ tháy A > 1 .Sau đây ta chứng minh A < 2

Thật vậy  2 2  2 2 4 2   

< 2 2 2   2 2 4 2    .....

< 2 2 2 ... 2 A      2 2 4 2   

Do vậy ta có 1 < A < 2 , chứng tỏ A N ( dpcm )

Cách giải này thường được gọi là truy toán

Ví dụ 2 : Rút gọn dẫy tính sau

1 1 1 1 ... 1 2 2 3 3 4 1 n n         Với n là số tự nhiên lớn hơn 1

Giải : Xét số hạng tổng quát

1 1 1 1 1 1 1

n n n n n n n n n n

           

Vậy : 1 1 1 1 ... 1 2 2 3 3 4 1 n n        

Trang 2

= ( 2 1) ( 3 2) ( 4 3) ... ( 1) n n         

ThuVienDeThi.com

= 1 n  Như vậy cứ cho n một giá trị cô thể ta lại được một bài toán Cách giải này gọi là cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát

Ví dụ 3 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có

< 2 1 1 1 1 1 ... 2 1 3 2 4 3 5 4 ( 1) n n      Giải : Xét số hạng tổng quát ta có :

1 1 1 1 1 1 1

( 1) 1 ( 1) 1 1

n n n n n n n n n n n n n

                         

 = 1 1 1 1 2 1 1 . 1 1 n n n n n n n n n

                    

= . Từ đây tiếp tục giải bài toán dễ dàng 2 2

1 n n 



Ví dụ 4 : Tính giá trị của biểu thức

5 13 5 13 5 13 .... B       

Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn lần

Giải : Nhận xét B > 2

Ta thấy :

2 5 13 5 13 5 13 .... B       

( B2 – 5 )2 = 13 + B B4 – 10 B2 + 25 = 13 + B B4 – 10 B2 – B + 12 = 0 B4 – 9 B2 – B2 + 9 – B + 3 = 0 B2 ( B – 3 )( B + 3 ) – ( B – 3)( B + 3) – ( B – 3) = 0 ( B – 3)[ B2( B + 3) – ( B + 3) – 1 ] = 0 ( B – 3)[ ( B + 3)( B2 – 1 ) – 1 ] = 0 Vì B > 2 nên B2 – 1 > 3 và B + 3 > 4 nên ( B + 3)( B2 – 1) – 1 > 11 do đó B – 3 = 0 . Vậy B = 3

Trang 3

ThuVienDeThi.com

Cách giải của ví dụ 4 gọi là đưa về tính ngiệm của một phương trình

Ví dụ 5 : Tính giá trị của biểu thức

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 2 2 3 3 4 99 100 C             

Giải :

Xét số hạng tổng quát : với k là số nguyên 2 2 1 1 1 ( 1) k k   

dương , ta có :

2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 k k k k                    

2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1. 2 2 1 1 1 1 k k k k k k                                          

Vì : 1 1 1 1 1 1 2 1. 2 . 2 1 2. 0 1 1 ( 1) k k k k k k k k                                

Vậy :

2

2 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) k k k k

            

Nên : 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 k k k k k k           áp dung vào bài

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 2 2 3 3 4 99 100 C                                     

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 ... 100 99,99 1 2 2 3 3 4 4 99 100 100             

Ví dụ 6 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có

< 3 4 4 4 ... 4    

Giải : Ta chứng minh bằng quy nạp toán học

Với n = 1 ta có D1 = < 3 Đúng 4 2  Trang 4

ThuVienDeThi.com