Giải tích 11 - Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số

Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số

___________________________________________________________________________

Writtenby Lê văn chương Trang 1

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu có thể un nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:

  lim 0 hay u 0 khi n + . n un n     b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực ( ), nếu Kí hiệu: n    lim 0. n n u a     n lim hay u khi n + . n n u a a    

Chú ý: .   lim lim n n n u u  

2. Một vài giới hạn đặc biệt.

a) * k 1 1 lim 0 , lim 0 , n n

   A n b) với .  lim 0 n q  1 q 

c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c. 3. Một số định lý về giới hạn của dãy số. a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : và * n v n n n u w   A

.    n lim lim lim u n n v w a a    

b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:

    lim lim lim n n n n u v u v a b        lim . lim .lim . n n n n u v u v a b       * n lim lim , v 0 n ; 0 lim

n n

n n

u u a b v v b      A

   lim lim , 0 ,a 0 n n n u u a u    

4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với 1. q 

1 lim lim1 n

u S q   5. Dãy số dần tới vô cực: a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực khi n dần tới vơ cực nếu un lớn   nu    n 

hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)= hay un   khi . n  b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là khi nếu lim .Ký hiệu: lim(un)=  n    nu  

hay un khi .   n  c) Định lý:

ThuVienDeThi.com

Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số

___________________________________________________________________________

Writtenby Lê văn chương Trang 2

o Nếu : thì    * n lim 0 u 0 , n nu   A 1 lim

nu 

o Nếu : thì  lim nu  1 lim 0

nu 

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

1. Giới hạn của dãy số (un) với với P,Q là các đa thức:   n

P n u Q n 

o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số

và mẫu số cho nk để đi đến kết quả : .  0

0 lim n

a u b 

o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0. o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)= . 

2. Giới hạn của dãy số dạng: , f và g là các biển thức chứa căn.   n

f n u g n 

o Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp. o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. C. CÁC VÍ DỤ.

1.

2

2 2 2

2 2

2 2

3 2 5 2 5 3 3 2 5 3 lim lim lim 1 8 7 8 7 8 7 7

n n n n n n n n n n n

n n n

             

2.

2

2 2 1 1 4 1 4 1 4 1 4 5 lim lim lim 3 2 2 3 2 3 3 3

n n n n n n n n

n n

             

3.      2 2 2 2 2

2 2

2 3 2 3 2 3 lim 2 3 lim lim 2 3 2 3

n n n n n n n n n n n n

n n n n n n

                   

2

2 2

3 2 2 3 2 3 2 lim lim lim 1 1 1 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1

n n n n n n n n n n n

                       

là biểu thức liên hợp của 2 2 3 n n n    2 2 3 n n n   

ThuVienDeThi.com