Công thức lượng giác và phương pháp giải các PTLG thường gặp

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Và PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PTLG THƯỜNG GẶP

1. Cung liên kết

a) Cung đối: cos ( -x) = -cosx ; sin ( -x) = -sinx b) Cung bù: cos ( π – α ) = - cos α ; sin ( π – α ) = sin α

c) Cung phụ: cos sin ; sin cos ; tan( ) cot ; cot tan 2 2 2 2 x x x x x x x x                               d) Cung hơn kém :      cos cos ; sin sin ; x x x x      

e) Cung hơn kém : 2  cos sin ; sin cos ; 2 2 x x x x                   2. Công thức lượng giác

a) Công thức cộng: b) Công thức nhân đôi

  cos sin

sin( ) sin cos cos sin tan tan tan( ) 1 tan tan cotacot 1 cot( ) cota cot

a b a b a b

a b a b a b a b a b a b b a b b

  

     

   

2 2

2

2

2

sin2 2sin .cos

cos2 cos sin

2cos 1

1 2sin

2tan tan2 1 tan

a a a

a a a

a

a

a a a



 

 



 c) Công thức nhân ba d) Công thức hạ bậc

3

3 sin3 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos

a a a

a a a

 

 

2 2

3 3

1 cos2 1 cos2 sin ; cos 2 2 3sin sin3 3cos cos3 sin ; cos 4 4

a a a a

a a a a a a

   

   

e) Công thức tích thành tổng f) Công thức tổng thành tích

 

 

 

1 cos cos cos( ) cos( ) 2

1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

   

    

   

cos cos 2cos cos 2 2

cos cos 2sin sin 2 2

sin sin 2sin cos 2 2

sin sin 2cos sin 2 2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

   

   

   

   

3. Hằng đẳng thức thường dùng

 

2 2 4 4 2 6 6 2

2 2 2 2 2

1 3 sin cos 1 sin cos 1 sin 2a sin cos 1 sin 2 2 4 1 1 1 tan 1+cot 1 sin2 sin cos cos sin

a a a a a a a

     

     

ThuVienDeThi.com

4. Phương trình lượng giác cơ bản

khi 1

2 sin ( ) ; sin sin ( ) arcsin 2 2 khi 1 ( ) arcsin 2

VN m

x k f x m x f x m k x k m f x m k

        

 

                     

khi 1

2 cos ( ) ; cos cos ( ) arccos 2 2 khi 1 ( ) arccos 2

VN m

x k f x m x f x m k x k m f x m k

      

 

                    tan ( ) ( ) arctan ; tan tan f x m f x m k x x k             cot ( ) ( ) arccot ; cot cot f x m f x m k x x k             5. Phương trình thường gặp

a. Phương trình bậc 2

2 2 2

2 2 2

2

2

.sin ( ) .cos ( ) 0 sin ( ) 1 cos ( )

.cos ( ) .sin ( ) 0 ( ) 1 sin ( )

cos2 ( ) cos ( ) 0 cos2 ( ) 2cos ( ) 1

cos2 ( ) sin ( ) 0 cos2 ( ) 1 2sin ( )

.t

a f x b f x c Thay f x f x

a

    

    

     

    

cos

1 an ( ) cot ( ) 0 cot ( ) tan ( ) f x b f x c Thay f x f x     

b. Phương trình dạng sin ( ) cos ( ) a f x b f x c  

 Điều kiện có nghiệm: 2 2 2 a b c  

 Chia 2 vế cho , dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ bản theo sin hoặc cos. 2 2 a b  c. Phương trình đẳng cấp

 Dạng 2 2 .sin .sin cos .cos a x b x x c x d     Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.  Xét cosx 0, chia 2 vế cho cos2x để được phương trình bậc 2 theo tanx.   Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.  Dạng 3 2 2 3 .sin .sin cos .sin .cos .cos 0 a x b x x c x x d x      Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.  Xét cosx 0, chia 2 vế cho cos3x để được phương trình bậc 3 theo tanx.   Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx. d. Phương trình đối xứng loại 1: (sin cos ) .sin cos a x x b x x c   

 Đặt t = sinx cosx, điều kiện  2 t   Thay vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo t. e. Phương trình đối xứng loại 2 :   tan cot ) (tan cot 0 n n a x x b x x    

 Đặt t = tanx - cotx thì t R ; Đặt t = tanx + cotx thì .  2 t   Chuyển về phương trình theo ẩn t. f. Các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát

 Phương pháp biến đổi tương đương đưa về dạng cơ bản  Phương pháp biến đổi phương trình đã cho về dạng tích.  Phương pháp đặt ẩn phụ.  Phương pháp đối lập.  Phương pháp tổng bình phương.

ThuVienDeThi.com