Đề thi olympic truyền thống 304 lần XX năm 2014 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong môn thi Toán - Khối 11

Sở Giáo Dục & Đào Tạo TP. HỒ CHÍ MINH KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4  LẦN XX – NĂM 2014



Trường THPT Chuyên Môn thi : Toán - Khối : 11 Lê Hồng Phong Ngày thi : 05/04/2014 Thời gian làm bài: 180 phút

Ghi chú : –Thí sinh làm mỗi câu trên 1 hay nhiều tờ giấy riêng và ghi rõ câu số ……. ở trang 1 của mỗi tờ giấy làm bài. –Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay. –Đề này có 01 trang. ______________________________________________________________________________________ Bài 1: (4 điểm) Giải hệ phương trình :

( )

2 2

5 3 x y 1 , x, y . 125y 125y 6 15 0

 + =  ∈  − + =  

Bài 2: (4 điểm) Cho dãy số ( ) n u xác định bởi : ( )

1

n

n 1 n

u 1

1 u u , n 1 n 1 +

=   − = + ∀≥  +

.

a. Chứng minh rằng 2n 1 1 1 u ... , n 1 n 1 n 2 n n = + + + ∀≥ + + + .

b. Chứng minh rằng dãy số ( ) n u có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.

Bài 3: (3 điểm) Hai đường tròn (O1, R1 ) và (O2, R2) (R1> R2) cắt nhau tại hai điểm M và M’. Một tiếp tuyến chung T1T2 của hai đường tròn cắt đường thẳng O1O2 tại P (T1 thuộc (O1), T2 thuộc (O2)). Đường thẳng PM cắt (O1) và (O2) lần lượt tại M1 và M2 khác M. Đường thẳng PM’ cắt (O1) và (O2) lần lượt tại M1’ và M2’ khác M’. Gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của MM1, MM2, M’M1’, M’M2’. Chứng minh rằng A, B, C, D nằm trên một đường tròn và đường tròn này tiếp xúc với T1T2.

Bài 4: (3 điểm) Xác định các đa thức P(x) hệ số thực thỏa mãn P(x).P(x2) = P(x3 + 3x), ∀x .

Bài 5: (3 điểm) Cho hai số tự nhiên m và n sao cho m n 1 > ≥. Biết rằng hai chữ số tận cùng của 2014m bằng với hai chữ số tận cùng của 2014n theo cùng thứ tự. Tìm các số m và n sao cho tổng m + n có giá trị nhỏ nhất. Bài 6: (3 điểm) Cho đa giác đều 9 đỉnh 1 2 9 A A ...A . Mỗi đỉnh của đa giác hoặc có màu đỏ hoặc có màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại hai tam giác phân biệt bằng nhau có tất cả các đỉnh là các đỉnh của đa giác và cùng màu. ______________________________________________________________________________________

Hết.

www.VNMATH.com

ThuVienDeThi.com

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4 - NĂM 2014

Môn Toán – Khối 11

Đáp án

Bài 1

Giải hệ phương trình :

( )

2 2

5 3 x y 1 , x, y . 125y 125y 6 15 0

 + =  ∈  − + =  

∑=4đ

Cách 1:

( ) ( )

2 2 2 2

3 2 5 3 x 1 y x y 1 I 125y y 1 6 15 125y 125y 6 15 0

(1)

(2)

 = −  + =   ⇔   − = − − + =    

Từ (1): 2 y 1 0 −≤

Kết hợp với (2):

3

2 y 0

y 1 0

 >  −< 

1 đ

0 y 1 ⇒ < <

0.5 đ

Xét 5 3 f (y) 125y 125y 6 15, 0 y 1 = − + < <

( )

2 2 f ' y 125y (5y 3)

15 f '(y) 0 y 5

= −

= ⇔ =

1 đ

Bảng biến thiên:

y 0 15 5 1

f’(y) – 0 +

f(y)

0

0.5 đ

( )

2 2 10 x y 1 x 5 I 15 y 15 y 5 5

  + = = ±    ⇔ ⇔   =  =  

1 đ Cách 2:

( ) ( )

2 2 2 2

3 2 5 3 x 1 y x y 1 I 125y y 1 6 15 125y 125y 6 15 0

(1)

(2)

 = −  + =   ⇔   − = − − + =    

Từ (1): 2 y 1 0 −≤

Từ (2): 3 y 0 y 0 > ⇒ >

1 đ

5 3 (2) 125y 6 15 125y ⇔ + =

Ta có: 5 5 5 10 5 15 3 5 3VT 125y 125y 125y 9 15 9 15 5 5 .3 .y 3.125y 3VP = + + + + ≥ = = 1 đ

www.VNMATH.com

ThuVienDeThi.com

Nên 5 15 (2) 125y 9 15 y 5 ⇔ = ⇔ = 1 đ

( )

2 2 10 x y 1 x 5 I 15 y 15 y 5 5

  + = = ±    ⇔ ⇔   =  =  

1 đ

Bài 2

Cho dãy số ( ) n u xác định bởi : ( )

1

n

n 1 n

u 1

1 u u , n 1 n 1 +

=   − = + ∀≥  +

.

a. Chứng minh rằng 2n 1 1 1 u ... , n 1 n 1 n 2 n n = + + + ∀≥ + + + .

b. Chứng minh rằng dãy số ( ) n u có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.

∑=4đ

a. Từ giả thiết có ( )

1 1 1, 1

n

n n n u u n + − ∀≥ − = +

( )

1 2 2

2 1 1 1 2 2

( 1) 1 1 1 1 1 ... 1 2 3 4 2

−

− = =

− ⇒ = − + = + = − + − + − ∑ ∑

k n n

n k k k k u u u u u k n

1 đ

2 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 ... 1 2 3 2 2 4 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... ... 1 2 3 2 1 2 3 1 2

    ⇒ = + + + + − + + +        

    = + + + + − + + + + = + + +     + + +    

n u n n

n n n n n n

1 đ

b. 2 1 1

1 1 1

1 = = = = + + ∑ ∑

n n

n k k u k n k n n

0.5 đ

Xét hàm số ( ) ( ) ( ) 1 ln 1 , 0 ' 1 = + ≥ ⇒ = + f x x x f x x

Áp dụng định lí Lagrange trên các đoạn 1 1 ; , 1; ; k k k k k k n c …