Tứ giác nội tiếp, tiếp tuyến, đường thẳng song song, góc bằng nhau, đẳng thức hình học, ba điểm thẳng hàng

GV: Nguyễn Văn Đại – THCS Nghĩa An ĐT: 0901537977

- 1 -

CHUYÊN ĐỀ 1 - DẠNG CHỨNG MINH : TỨ GIÁC NỘI TIẾP, TIẾP TUYẾN, ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, GÓC BẰNG NHAU, ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

( BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY )

I - LÝ THUYẾT - BÀI TẬP MINH HỌA. 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn. Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn : Cách 1 . Sử dụng định nghĩa đường tròn. Ví dụ : ( Đường tròn Euler ) Cho tam giác ABC. Kẻ các đường cao AM, BN, CP ; H là trực tâm tam giác . Gọi D, E, F thứ tự là trung điểm các cạnh BC, AC, AB ; G, I, K thứ tự là trung điểm AH, BH, CH . Chứng minh : 9 điểm M, N, P, D, E, F, G, I, K nằm trên một đường tròn.

O

K I

G

F E

D

P

N

M

H

C B

A

Cách 2 . Sử dụng định lí đảo về Tứ giác nội tiếp đường tròn. Hệ quả 1: Nếu một tứ giác có một góc bằng góc kề bù với góc đối của nó thì tứ giác nội tiếp một đường tròn. Hệ quả 2 : Nếu MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn.

D C

B

A

M

Ví dụ : Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C (C không trùng với B). Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm), tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng CD tại E. Gọi H là giao điểm của AD và OE, K là giao điểm của BE với đường tròn (O) (K không trùng với B). Chứng minh 4 điểm B, O, H, K cùng thuộc một đường tròn.

ThuVienDeThi.com

GV: Nguyễn Văn Đại – THCS Nghĩa An ĐT: 0901537977

- 2 -

K

H

D

E

C B O A

Cách 3 : Sử dụng Quỹ tích cung chứa góc.

Nếu nhiều điểm cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa AB, cùng nhìn AB dưới một góc bằng nhau thì các điểm đó cùng thuộc một đường tròn nhận AB làm dây.

G

F

E

D

C

B A

Hệ quả : Nếu hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại I thỏa mãn IA.IB = IC.ID thì bốn điểm A,B,C,D thuộc một đường tròn.

I

D

C

B

A

Ví dụ : Cho (O) . MA, MB là các tiếp tuyến, MCD là cát tuyến ( MC < MD ). Gọi I là trung điểm CD, K là giao điểm của AB và MD. Chứng minh 4 điểm M, A, I, B thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra : KC.KD = KM.KI

H

K

D

C I

B

A

O M

ThuVienDeThi.com

GV: Nguyễn Văn Đại – THCS Nghĩa An ĐT: 0901537977

- 3 -

2. Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn. Các cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn. Cách 1 : Sử dụng định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn ( đường thẳng và đường tròn có duy nhất một điểm chung ). Cách 2 : Theo VTTĐ của đường thẳng và đường tròn ( chỉ ra khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính đường tròn ). Cách 3 : Nếu một đường thẳng đi qua 1 điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn. Cách 4 : Sử dụng định lí đảo về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây .

Nếu thì Bx là tiếp tuyến của (O) . A A 1 2 ABx AmB 

x B

A O

Ví dụ . Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn (O; R) cố định. Từ điểm A kẻ đường thẳng d bất kỳ không đi qua O, cắt đường tròn (O) tại B, C (B nằm giữa A và C). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau tại D. Kẻ DH vuông góc với AO tại H; DH cắt cung nhỏ BC tại M. Gọi I là giao điểm của DO và BC. Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

B

I

M

D

C

O H A

+ OI.OD = OC2 = OM2 (1) + PO/(AHID) = OH.OA = OI.OD (2) + Từ (1) và (2) => OM2 = OH.OA => AM là tiếp tuyến (O) 3. Chứng minh đường thẳng song song, góc bằng nhau . a. Chứng minh đường thẳng song song. - Quan hệ từ vuông góc đến song song. - Góc ở vị trí SLT, SLN, ĐV, trong cùng phía bù nhau. - Cạnh đối các tứ giác : hình thang, HBH, HCN, HT, HV.

ThuVienDeThi.com