Đề học sinh giỏi lớp 8 môn Toán năm 2022 2023 phòng GD ĐT Thọ Xuân Thanh Hoá

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO HUYỆN THỌ XUÂN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7, LỚP 8

CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023

Môn thi : Toán - Lớp 8 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 12/3/2023 (Đề thi có 01 trang ) Câu 1. (4,0 điểm)

1. Cho biểu thức

2 2

2 2 4 2 ( 1)( 3) . 5 6 3 2 1 x x x x P x x x x x x

  − − = +     − + − + + +  

.

Rút gọn 𝑃𝑃 và tìm giá trị lớn nhất của 𝑃𝑃. 2. a) Phân tích đa thức 3 3 3 3 x y z xyz + + − thành nhân tử. b) Cho hai số thực phân biệt 𝑎𝑎 và 𝑏𝑏 khác 0 thỏa mãn điều kiện

3 3 1 1 3 1 ab a b + + = . Tính giá trị của biểu thức 𝑇𝑇= [(𝑎𝑎−1)(𝑏𝑏−1)]2023 .

Câu 2. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình : 2 2 1 1 1 . 2 3 ( 1) 48 x x x = + + − +

2. Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đến nhà Bích với vận tốc 4km/h. Lúc 8 giờ 20 phút, Bích cũng rời nhà mình để đến nhà An với vận tốc 3 km/h. An gặp Bích trên đường, rồi cả hai cùng đi về nhà Bích. An ở nhà Bích chơi một thời gian rồi đi về một mình. Về đến nhà An tính ra quãng đường mình đã đi dài gấp bốn lần quãng đường Bích đã đi. Tính quãng đường từ nhà An đến nhà Bích (với giả thiết An và Bích cùng đi trên một quãng đường). Câu 3. (4,0 điểm)

1. Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn 𝑥𝑥2 −4𝑥𝑥𝑥𝑥+ 5𝑦𝑦2 −16 = 0. 2. Giả sử p, q là 2 số nguyên tố thỏa mãn đồng thời các điều kiện 3, p q > >

2 p q − = . Chứng minh rằng

3 3 p q + chia hết cho 36. Câu 4. (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD và điểm H thuộc cạnh BC (H không trùng với B và C ). Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa hình vuông ABCD dựng hình vuông CHIK. Gọi M là giao điểm DH và BK ; N là giao điểm KH và BD.

1. Chứng minh DH vuông góc với BK và . . DN DB DC DK  .

2. Chứng minh BHD BHK

DHK

S S BH HC S   và 6. BH DH KH HC HM HN   

3. Gọi P là giao điểm của CN và DH. Qua P kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, BK lần lượt tại E, Q. Chứng minh E là trung điểm của PQ. Câu 5. (2,0 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 3. ab bc ca + + =

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 . 2 1 2 1 2 1 a b c A b c a = + + + + +

---------------------------HẾT---------------------------- Họ và tên thi sinh……………….....……….....……. Số báo danh …….…….......

UBND HUYỆN THỌ XUÂN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7, LỚP 8

CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022-2023

MÔN: TOÁN – LỚP 8 Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang.

Câu Ý Nội dung Điể

m 1

1

1.Cho biểu thức

𝑷𝑷= ቆ 𝒙𝒙𝟐𝟐

𝒙𝒙𝟐𝟐−𝟓𝟓𝟓𝟓+ 𝟔𝟔+ 𝒙𝒙𝟐𝟐

𝒙𝒙𝟐𝟐−𝟑𝟑𝟑𝟑+ 𝟐𝟐ቇ. (𝒙𝒙−𝟏𝟏)(𝒙𝒙−𝟑𝟑) 𝒙𝒙𝟒𝟒+ 𝒙𝒙𝟐𝟐+ 𝟏𝟏

Rút gọn 𝑷𝑷 và tìm giá trị lớn nhất của 𝑷𝑷.

2,5

ĐKXĐ: 𝑥𝑥≠1; 𝑥𝑥≠2; 𝑥𝑥≠3 0.25

𝑃𝑃= ቆ 𝑥𝑥2

(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥−3) + 𝑥𝑥2

(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥−2)ቇ.

(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥−3)

𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥2 + 1 0.5

2 2

4 2 ( 1) ( 3) ( 1)( 3) . ( 1)( 2)( 3) 1 x x x x x x P x x x x x

  − + − − − =   − − − + +  

0,25

𝑃𝑃= ቆ 2𝑥𝑥2

(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥−3)ቇ.

(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥−3)

𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥2 + 1 0.5

𝑃𝑃= 2𝑥𝑥2

𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥2 + 1 0,25

Vậy với 𝑥𝑥≠1; 𝑥𝑥≠2; 𝑥𝑥≠3 thì 𝑃𝑃= 2𝑥𝑥2

𝑥𝑥4+𝑥𝑥2+1 0.25 Nếu 𝑥𝑥= 0 thì 𝑃𝑃= 0 0,25 Nếu 𝑥𝑥≠0 thì

𝑃𝑃= 2𝑥𝑥2

𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥2 + 1 = 2

ቀ𝑥𝑥−1 𝑥𝑥ቁ 2 + 3

≤2 3

Dấu “=” xảy ra khi x= - 1 Vậy giá trị lớn nhất của 𝑃𝑃 là 2

3 đạt được khi x = - 1.

0,25

2 2.a) Phân tích đa thức 3 3 3 3 x y z xyz + + − thành nhân tử 1,0 3 3 3 3 3 3 ( ) 3 (x y) 3 x y z xyz x y xy z xyz + + − = + − + + − [ ] 3 3 ( ) 3 (x y) 3 x y z xy xyz   = + + − + +   0,5

2 2 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) x y z x y z x y z xy x y z   = + + + − + + − + +   0.25

2 2 2 ( )(x ) x y z y z xy yz zx = + + + + − − − (*) 0,25