Chuyên đề Toán - Nguyên hàm tích phân

Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân

1

CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

I. NGUYÊN HÀM

1. Khái niệm.

Định nghĩa. Cho hàm số xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng). ( ) f x Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên K, nếu , ( ) F x ( ) f x '( ) ( ) F x f x  với mọi . x K 

Định lý. Giả sử là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng K. Khi đó ( ) F x ( ) f x

a. Với mỗi hằng số C, hàm số cũng là một nguyên hàm của . ( ) ( ) G x F x C   ( ) f x

b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của thì tồn tại hằng số C sao cho ( ) f x G(x) = F(x) + C.

c. Họ tất cả các nguyên hàm của là , trong đó là một ( ) f x ( ) ( ) f x dx F x C    ( ) F x

nguyên hàm của , C là hằng số bất kỳ. ( ) f x

d. Bảng các nguyên hàm cơ bản.

Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của hàm số hợp ( ) u u x 

, kdx kx C k R     , kdu ku C k R    

1 1 . ( 1) 1 x dx x C    

     

1 1 . ( 1) 1 u du u C    

     

( ) ln dx x C x    0 x  ( ) ln du u C u    0 x 

2 dx x C x

   2 du u C u

  

x x e dx e C   

u u e du e C   

(0 1). ln

x x a a dx C a a      (0 1). ln

u u a a du C a a     

cos sin xdx x C    cos sin udu u C   

ThuVienDeThi.com

Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân

2

sin cos xdx x C    sin cos udu u C   

; . 2 tan cos

dx x C x    2 cot sin

dx x C x    ; 2 tan cos

du u C u    2 cot sin

du u C u   

Ngoài ra còn một số công thức thường gặp là.

1 1 ) 1 1 ( ) ,( 0, 1); ln , 0. 1 1 1 ; ( ) sin( )

1 sin( ) ( )

ax ax

(ax ax ax ax

os ax ax

ax os ax

k k

b b

b b dx C a k dx b C a a k b a

e dx e C c b dx b C a a

b dx c b C a



 

           

     

   

 

 



2. Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm

Định lý. Nếu tương ứng là một nguyên hàm của thì ( ), ( ) F x G x ( ), ( ) f x g x

a. '( ) ( ) f x dx f x C   

b. ; [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx F x G x C         

c. . ( ) ( ) ( 0) a.f(x)dx aF a f x dx x C a      

3. Một số phương pháp tìm nguyên hàm

a. Phương pháp đổi biến số

Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số có đạo hàm ( ) u u x  liên tục trên K và hàm số liên tục sao cho xác định trên K. Khi đó (u) y f  [ ( )] f u x nếu F là một nguyên hàm của f, tức là thì ( ) ( ) f u du F u C    . [ ( )]dx=F[u(x)]+C f u x 

b. Phương pháp tích phân từng phần

Một số dạng thường gặp:

Dạng 1. ( ). , ( )sin( ) , ( ) ( ) ax ax os ax b P x e dx P x b dx P x c b dx      

Cách giải: Đặt ( ), ( sin( ) , cos( ) ) ax hoaëc b u P x dv e dx dv ax b dx dv ax b dx       

Dạng 2. ( )ln( ) ax P x b dx  

Cách giải: Đặt ln( ), ( ) . ax u b dv P x dx   

ThuVienDeThi.com

Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân

3

I. TÍCH PHÂN.

1. Định nghĩa. Cho hàm liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. ( ) f x Nếu là một nguyên hàm của thì hiệu số được gọi là tích phân ( ) F x ( ) f x ( ) ( ) F b F a 

của từ a đến b và ký hiệu là . Trong trường hợp thì là ( ) f x ( )

b

a

f x dx  a b  ( )

b

a

f x dx 

tích phân của f trên .   ;a b

2. Tính chất của tích phân .

Cho các hàm số liên tục trên K và là ba số thuộc K. ( ), ( ) f x g x , , a b c

( ) 0 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) . ( ) ( )

[ ( ) ( )] ( ) ( )

a b a

a a b

b c b b b

a a c a a

b b b

a a a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx f x dx k f x dx k f x dx

f x g x dx f x dx g x dx

   

    

   

  

    

  

3. Một số phương pháp tính tích phân

 Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số . Trong

( )

( ) [ ( )] '( ) ( )

u b b

a u a f u x u x dx f u du   

đó là hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp ( ) f x ( ) u x xác định trên J; . [ ( )] f u x ,a b J 

Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách

Cách 1. Đặt ẩn phụ ( là một hàm của x) ( ) u u x  u

Cách 2. Đặt ẩn phụ ( là một hàm số của t). ( ) x x t  x

 …