Chuyên đề Giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

1

CHUYÊN ĐỀ

GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình. PHÖÔNG PHAÙP: Böôùc 1: Choïn heä truïc toaï ñoä Oxyz thích hôïp (chuù yù ñeán vò trí cuûa goác O) Böôùc 2: Xaùc ñònh toaï ñoä caùc ñieåm coù lieân quan

(có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào :

 Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ).  Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ  Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng.  Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng. Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán Các dạng toán thường gặp:

 Độ dài đọan thẳng  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Khoảng cách giữa hai đường thẳng  Góc giữa hai đường thẳng  Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng  Góc giữa hai mặt phẳng  Thể tích khối đa diện  Diện tích thiết diện  Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc  Bài toán cực trị, quỹ tích Bổ sung kiến thức : 1) Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích S' bằng tích của S với cosin của góc  giữa mặt phẳng của tam giác và mặt phẳng chiếu  cos . ' S S  2) Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S Ta luôn có:

SC SB SA V

V

ABC S

C B A S

' ' '

.

' ' ' . . . 

Ta thường gặp các dạng sau

1. Hình chóp tam giác

ThuVienDeThi.com

2

a. Dạng tam diện vuông

Ví dụ 1. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). d[M, (OAB)] = 3 zM = 3. Þ Tương tự M(1; 2; 3). Þ

pt(ABC): x y z 1 a b c + + =

(1). 1 2 3 M (ABC) 1 a b c Î Þ + + =

(2). O.ABC

1 V abc 6 =

3 1 2 3 1 2 3 (1) 1 3 . . a b c a b c Þ = + + ³

. 1abc 27 6 Þ ³

(2) . min

1 2 3 1 V 27 a b c 3 Þ = Û = = =

Ví dụ: 1) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c.

Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng :   2S abc a b c   

(Dự bị 2 – Đại học khối D – 2003)

Giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm là :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)

            

       

     

     



  

 2 2 2 2 2 2 BCD

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

BC c;b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc

1 1 S BC,BD a b a c b c 2 2

ñpcm a b a c b c abc(a b c)

a b a c b c abc(a b c) Theo BÑT Cauchy ta ñöôïc :

a b +b c 2ab c

b c +c a

            

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2bc a Coäng veá : a b a c b c abc(a b c)

c a a b 2ca b

z

y

x

A

B

C

D

ThuVienDeThi.com