Chuyên đề 5 Elip

CHUYÊN ĐỀ 5

ELIP

Các bài toán về elip chủ yếu qui về việc viết phương trình chính tắc của elip, xác định các phần tử của elip (tâm, đỉnh, tiêu cự, độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu điểm…), nhất là xác định phương trình của tiếp tuyến cùng với tọa độ tiếp điểm. Trong mọi trường hợp ta cần nắm vững kiến thức cơ bản sau đây :

. Elip (E) có tiêu điểm trên x′x

. Elip (E) có tiêu điểm trên y′y

Phương trình

chính tắc

Tiêu cự

Tiêu điểm

Trục lớn

Trục nhỏ

Đỉnh trên trục lớn

Đỉnh trên trục nhỏ

Tâm sai

Bán kính qua tiêu

Điểm của M ∈ (E)

Đường chuẩn

(E) :

2

2 x a +

2

2 y b = 1

a2 > b2 và a2 – b2 = c2

2c

F1(–c, 0), F2(c, 0)

Trên Ox, dài 2a

Trên Oy, dài 2b

A1(–a, 0), A2(a, 0)

B1(0, –b), B2(0, b)

e = c a

1 1

2 2

M

M

r FM a ex

r F M a ex

= = + ⎧ ⎨ = = − ⎩

1 2 , Δ : x = ± a e

(E) :

2

2 x a +

2

2 y b = 1

a2 < b2 và b2 – a2 = c2

2c

F1(0, –c), F2(0, c)

Trên Oy, dài 2b

Trên Ox, dài 2a

A1(0, –b), A2(0, b)

B1(–a, 0), B2(a, 0)

e = c b

1 1

2 2

M

M

r FM b ey

r F M b ey

= = + ⎧ ⎨ = = − ⎩

1 2 , Δ : y = ± b e

* Ghi chú :

1 ThuVienDeThi.com

Trường hợp elip có tâm I( , α β ) hai trục cùng phương với 2 trục tọa độ thì phương trình có dạng

( )

2

2 x a −α + ( )

2

2 y b −β = 1

Ta dời hệ trục tọa độ xOy đến XIY bằng phép tịnh tiến theo OI

JJG

để được phương trình dạng chính tắc của elip là

2

2 X

a +

2

2 Y b = 1 với X x Y y = −α ⎧ ⎨ = −β ⎩

để suy ra dễ dàng tọa độ các đỉnh và tiêu điểm.

. Tiếp tuyến với elip (E) :

2

2 x a +

2

2 y b = 1 tại tiếp điểm M0(x0, y0) có phương trình 0 2 x x a

+ 0 2 y y b = 1

. Trường hợp không biết tiếp điểm ta áp dụng tính chất :

: Ax + By + C = 0 tiếp xúc với elip ( ) Δ

(E) :

2

2 x a +

2

2 y b = 1 a2A2 + b2B2 = C2 ⇔

Thường ta viết phương trình của ( ) Δ theo hệ số góc ở dạng

kx – y + c = 0 và lưu ý trường hợp ( ) Δ ⊥ x′x tức

( ) Δ : x = ± a

. Elip (E) :

2

2 x a +

2

2 y b = 1 có 2 tiếp tuyến cùng phương với Oy là

x = a. Ngoài 2 tiếp tuyến x = a, mọi tiếp tuyến khác với ( E) đều có dạng ± ±

y = kx + m hoặc dạng y = k ( x –x0 ) + y0 nếu tiếp tuyến đi qua ( x0 , y0 ) là điểm nằm ngoài elip.

Ví dụ1 :

Cho elip (E) : x2 + 4y2 – 40 = 0

a) Xác định tiêu điểm, hai đỉnh trên trục lớn, 2 đỉnh trên trục nhỏ và tâm sai của (E).

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) tại điểm M0(–2, 3).

c) Viết phương trình tiếp tuyến với elip (E) biết nó xuất phát từ điểm M(8, 0).

2 ThuVienDeThi.com

d) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) biết nó vuông góc với đường thẳng (D) : 2x – 3y + 1 = 0, tính tọa độ tiếp điểm.

Giải

a) Tiêu điểm, các đỉnh và tâm sai của (E)

(E) : x2 + 4y2 – 40 = 0

⇔

2 x 40 +

2

10

y = 1 có dạng

2

2 x a +

2

2 y b = 1

với a2 = 40 > b2 = 10 c2 = a2 – b2 = 30 ⇒

a = 2 ⇒ 10 , b = 10 , c = 30

Vậy elip (E) có trục lớn trên Ox, hai tiêu điểm nằm trên trục lớn là

F1(– 30 , 0) , F2( 30 , 0).

Hai đỉnh trên trục lớn là A1(–2 10 , 0), A2(2 10 , 0)

Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy với 2 đỉnh là B1(0, – 10 ), B2(0, 10 ).

Tâm sai của elip (E) là e = c a = 30 2 10

= 3 2

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) tại M0(–2, 3)

Ta có + 4 – 40 = ( 2 0 x 2 0 y ) 2 2 − + 4 – 40 = 0 ( ) 2 3

M0(–2, 3) ∈ (E) : x2 + 4y2 – 40 = 0 ⇒

Phương trình tiếp tuyến với (E) tại tiếp điểm M0(–2, 3) sẽ là: ⇒

x0x + 4y0y – 40 = 0 ⇔ –2x + 12y – 40 = 0

⇔ x - 6y + 20 = 0

c) Phương trình tiếp tuyến với elip phát xuất từ M(8, 0).

(E) có hai tiếp tuyến cùng phương với 0y là: x = 2 10 ± .Hai tiếp tuyến này không đi qua M(8,0). Vậy pt tiếp tuyến ( qua M(8, 0) có dạng: ) Δ

y= k(x – 8) ⇔ kx – y – 8k = 0

( ) Δ tiếp xúc với elip (E) :

2 x 40 +

2 y 10 = 1

⇔ 40k2 + 10 = 64k2

3 ThuVienDeThi.com