Chuyên đề Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt http://www.toanthpt.net

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

• Hàm số ( ) f x xác ñịnh và có liên tục trên ñoạn ; a b    thì ( ) ' f x xác ñịnh trên khoảng ( ) ; a b .

• Hàm số ( ) f x xác ñịnh và có liên tục trên nửa ñoạn ) ( ; ; a b hay a b    thì ( ) ' f x xác ñịnh trên

khoảng ( ) ; a b .

• Hàm số có thể không ñạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên một tập hợp số thực cho trước . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 2 ; ; max max , , ... , i x a b x a b f x f a f x f x f x f b     ∈ ∈     • =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 2 ; ; min min , , ... , i x a b x a b f x f a f x f x f x f b     ∈ ∈     • =

( ) ( )

( )

0 0

, max , x D

x D f x M M f x x D f x M ∈

∀∈ ≤  • = ⇔∃ ∈ = 

( ) ( )

( )

0 0

, min , x D

x D f x m m f x x D f x m ∈

∀∈ ≥  • = ⇔∃ ∈ = 

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:

( )

4 4 ) sin cos a f x x x = + ( )

2 ) 4 b f x x x = + −

Giải :

( )

4 4 ) sin cos a f x x x = +

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ. Ta có

( ) ( )

2 2 4 4 2 2 2 2 2 1 1 sin cos sin cos 2sin .cos 1 2 2. sin .cos 1 sin 2 2 2 f x x x x x x x x x x   = + = + − = − = −    

Với mọi x ∈ℝ, ta có

( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 0 sin 2 1 0 sin 2 1 1 sin 2 1 2 2 2 2 2 x x x hay f x ≤ ≤ ⇒ ≥− ≥− ⇒ ≥ − ≥ ≤ ≤

( )

( )

( )

( )

1 1 min min s in2 1 2 4 2 2 max 1 s in2 0 max 1 2

f x khi x k f x khi x hay f x khi x f x khi x k

π π

π

  = = +  = =   ⇒    = = = =  

( )

2 ) 4 b f x x x = + −

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn 2;2   −  .

Ta có ( ) ( )

2

2 2 4 ' 1 , 2;2 4 4

x x x f x x x x

− − = − = ∈− − −

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 0 2 0 2 4 0 4 ' 0 2 4 2 2;2 2;2

x x x x x x f x x x x x x x

    < < < < − − = − =     = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =     − = = ∈− ∈−        

ThuVienDeThi.com

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt http://www.toanthpt.net

Bảng biến thiên của ( ) f x trên ñoạn 2;2   −  

x 2 − 2 2 ( ) ' f x − 0 +

( ) f x 2 − 2

2 2

Từ bảng biến thiên , ta ñược ( ) ( ) 2;2 2;2 max 2 2 2 min 2 2 x x f x khi x f x khi x     ∈− ∈−     = = = − = −

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:

( )

4 2 ) sin cos 2 a f x x x = + + ( ) ) sin2 b f x x x = − trên ñoạn ; 2 π π   −    

Giải :

( )

4 2 4 2 ) sin cos 2 sin sin 3 a f x x x x x = + + = − +

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ. ðặt 2 sin ,0 1 t x t = ≤ ≤

Xét hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3, 0;1 ' 2 1, 0;1 ' 0 2 f t t t t f t t t f t t   = − + ∈ = − ∈ = ⇔ =  

( ) ( ) 1 11 0 1 3 , 2 4 f f f   = = =    

( ) ( ) 0;1

11 3 min min 2 4 4 t f x f t   ∈  = = = ( ) ( ) 0;1 ax max 3 t m f x f t   ∈  = =

( ) ) sin2 b f x x x = − trên ñoạn ; 2 π π   −    

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn ; 2 π π   −    

Ta có : ( ) ( ) 5 ' 1 2cos2 , ' 0 , , 2 6 6 6 f x x x f x x π π π π π = − − < < ⇒ = ⇔ = −

( ) 3 3 5 5 3 ; ; ; ; 6 6 2 6 6 2 6 6 2 2 2 f f f f f π π π π π π π π π π         − = − + = − = + − = − =                

Vậy ( ) ( ) ; ; 2 2

5 3 5 max ; min 6 2 6 2 2 x x f x khi x f x khi x π π π π

π π π π

    ∈− ∈−        

= + = = − = −

Ví dụ 3:Cho parabol ( )

2 : P y x = và ñiểm ( ) 3;0 A − . Xác ñịnh ñiểm M thuộc ( ) P sao cho khoảng cách

AM là ngắn nhất ; tìm khoảng cách ngắn nhất ñó. Giải :

Gọi ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 ; ; M x y P M x x ∈ ⇒

ThuVienDeThi.com