Chuyên đề 2 Hệ phương trình đại số

Chuyên đề 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA I. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

a. Dạng : ⎨ (1) 1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ = ⎧

+ = ⎩

Cách giải đã biết: Phép thế, phép cộng ... b. Giải và biện luận phương trình : Quy trình giải và biện luận Bước 1: Tính các định thức :

• 1 2 2 1 2 2

1 1 b a b a b a b a D − = = (gọi là định thức của hệ)

• 1 2 2 1 2 2

1 1 b c b c b c b c Dx − = = (gọi là định thức của x)

• 1 2 2 1 2 2

1 1 c a c a c a c a Dy − = = (gọi là định thức của y)

Bước 2: Biện luận

• Nếu thì hệ có nghiệm duy nhất 0 ≠ D

⎪ ⎪ ⎩

⎪⎨ ⎪ ⎧

=

=

D

D y

D D x

y

x

• Nếu D = 0 và 0 ≠ x D hoặc 0 ≠ y D thì hệ vô nghiệm

• Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm Ý nghĩa hình học: Giả sử (d1) là đường thẳng a1x + b1y = c1

(d2) là đường thẳng a2x + b2y = c2 Khi đó:

1. Hệ (I) có nghiệm duy nhất (d1) và (d2) cắt nhau ⇔ 2. Hệ (I) vô nghiệm ⇔ (d1) và (d2) song song với nhau 3. Hệ (I) có vô số nghiệm ⇔ (d1) và (d2) trùng nhau Áp dụng:

Ví dụ1: Giải hệ phương trình: ⎩ ⎨ ⎧ = + − = −

2 3 4 9 2 5 y x y x

Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình : ⎩ ⎨ ⎧ = + + = +

2 1 my x m y mx

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình : ⎩ ⎨ ⎧ = + = +

1 3 2 my x y mx

9

ThuVienDeThi.com

Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa x >1 và y > 0 ( 2 m 0) − < <

Ví dụ 4: Với giá trị nguyên nào của tham số m hệ phương trình 4 2 mx y m x my m + = + ⎧ ⎨+ = ⎩

có nghiệm duy nhất

(x;y) với x, y là các số nguyên. ( m 1 m 3 = −∨ = −) II. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn: 1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn:

Ví dụ : Giải hệ: ⎩ ⎨ ⎧

= − +

= +

5 2 2

5 2

2 2 xy y x

y x

Cách giải: Giải bằng phép thế

2. Hệ phương trình đối xứng :

1. Hệ phương trình đối xứng loại I:

a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi. b.Cách giải: Bước 1

10

: Đặt x+y=S và xy=P với ta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P. 2 4 S ≥ P Bước 2: Giải hệ mới tìm S,P . Chọn S,P thoả mãn . 2 4 S P ≥ Bước 3: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình : ( định lý Viét đảo ). 2 0 X SX P − + = Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên nếu (x0;y0) là nghiệm của hệ thì (y0;x0) cũng là nghiệm của hệ Áp dụng: Ví du 1ï: Giải các hệ phương trình sau :

1) 2) ⎩ ⎨ ⎧

= + + = + + 2 4 2 2

y x xy y xy x

2 2 7

3 3 16

x y xy

x y x y

+ + = − ⎧ ⎨ + − − = ⎩

3) 4)⎨ ⎩ ⎨ ⎧

= +

= + +

30

11

2 2 xy y x

y x xy

⎩

⎧

= + + + = + 0 9 2 ) (3 13 2 2

xy y x y x

5) 6) ⎪⎩

⎪⎨ ⎧

= +

= +

35

30

3 3

2 2

y x

xy y x

⎪⎩

⎪⎨ ⎧

= +

= +

20

6

2 2 xy y x

x y y x 7)

⎪⎩

⎪⎨ ⎧

= − +

= +

4

4

xy y x

y x

8) ⎩ ⎨ ⎧

= + = + 2 34 4 4

y x y x

1) (0;2); (2;0) 2) (2; 3),( 3;2),(1 10;1 10),(1 10;1 10) − − + − − + 3) ( 1;5),(5;1),(2;3),(3;2)

4) 10 10 10 10 (3; 2),( 2;3),( 2 ; 2 ),( 2 ; 2 ) 2 2 2 − − −+ −− −− −+ 2 5) ( 6) (1 2;3);(3;2) ;4),(4;1)

7) (4;4) 8) (1 2;1 2),(1 2;1 2) − + + −

Ví dụ2 : Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm:

⎪⎩

⎪⎨ ⎧

− = +

= +

m y y x x

y x

3 1

1

ThuVienDeThi.com