Chuyên đề Hình giải tích lớp 12

Trịnh Thị Hồng Hạnh

Cố gắng hết sức mình, để không phải hối tiếc!

Hình giải tích lớp 12: Phương pháp toạ độ trong không gian Phần I: Hệ toạ độ trong không gian I. Kiến thức cơ bản: 1. Hệ trục tọa độ trong không gian: Hệ gồm 3 trục 0x, 0y, 0z đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian. Nếu ta lấy 3 vectơ đơn vị lần lượt nằm trên 0x, 0y, 0z thì: , , i j k 

2 2 2, . . . 0 i j k i j j k k i           

2. Toạ độ của vectơ và của điểm:

( ; ; )

( ; ; )

u x y z u xi y j zk

M x y z OM xi y j zk

    

    

    

   

Nếu A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) thì: ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z     

3. Vectơ bằng nhau. Tọa độ của vectơ tổng, vectơ hiệu: Cho . Khi đó: 1 1 1 2 2 2 ( ; ; ), ( ; ; ) u x y z v x y z    

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 1 1

1 2 1 2 1 2

, ,

( ; ; )

( ; ; ),

( ; ; ); ,

u v x x y y z z

ku kx ky kz k

mu nv mx nx my ny mz nz m n

    

    

 

     

 

 



A  

A 4. Hai vectơ cùng phương: Hai vectơ và cùng phương ( ) 1 1 1 ( ; ; ) u x y z  

2 2 2 ( ; ; ) v x y z  

0 u 

 

2 1

2 2 2 2 1

1 1 1 2 1

:

x kx

x y z k v ku y ky x y z z kz

             

  A

5. Tích vô hướng của hai vectơ: Cho hai vectơ . Khi đó: 1 1 1 2 2 2 ( ; ; ), ( ; ; ) u x y z v x y z    

      

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 1 1 1

2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2

. . .cos( , )

cos ,

.

0

B A B A B A

u v u v u v x x y y z z

u u x y z

AB AB x x y y z z

x x y y z z u v

x y z x y z

u v x x y y z z

   

   

      

  

   

    

   

 





 

ThuVienDeThi.com

Trịnh Thị Hồng Hạnh

Cố gắng hết sức mình, để không phải hối tiếc!

6. Tích có hướng của hai vectơ: Trong không gian cho hai vectơ . Tích có hướng của hai 1 1 1 2 2 2 ( ; ; ), ( ; ; ) u x y z v x y z    

vectơ , kí hiệu là: , được xác định bởi: , u v 

,u v     

' A CMN V

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 , ; ; y z z x x y u v y z z x x y         



Tính chất:



, , ,

, . .sin ,

u v u u v v

u v u v u v

         

   

   

   

cùng phương , u v 

, 0 u v        

đồng phẳng , , u v w



, . 0 u v w       

7. Các ứng dụng của tích có hướng:

Tính diện tích tam giác: 1 , 2 ABC S AB AC       

Tính thể tích khối hộp: . ' ' ' ' . . ' ABCD A B C D V AB AD AA     

Thể tích tứ diện: 1 , . 6 ABCD V AB AC AD      

II. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp. Ví dụ 2: Tính tích có hướng , biết: ,u v     

a, (1;2; 3), ( 4;1;2) u v     

b, (0;1; 2), (3;0; 4) u v      

Ví dụ 3: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ trong các trường hợp sau: , , u v w



a, (1; 1;1), (0;1;2), (4;2;3) u v w       

b, ( 3;1; 2), (1;1;1), ( 2;2;1) u v w       

Ví dụ 4: Trong không gian cho 4 điểm A(1;1;0), B(0;2;1), C(1;0;2), D(1;1;1) a, Chứng minh 4 điểm đó không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD. b, Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC, trọng tâm của tứ diện ABCD. c, Tính diện tích các mặt của tứ diện. d, Tính độ dài các đường cao của tứ diện. e, Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Ví dụ 5: Trong không gian 0xyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1). a, Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b, Tính chu vi, diện tích của tam giác ABC. c, Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành.

ThuVienDeThi.com