Chuyên đề về Mặt nón - Mặt trụ - Mặt cầu

THPT Thốt Nốt

Trang 1 của 16

CHƢƠNG 2: MẶT NÓN MẶT TRỤ MẶT CẦU

--------

Bài 1: KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY

------

1. SỰ TẠO THÀNH CỦA MẶT TRÒN XOAY: (sgk)

2. MẶT NÓN TRÒN XOAY:

2a. Định nghĩa mặt nón tròn xoay:

Trong mặt phẳng (P), cho 2 đường thẳng d, Δ cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc β với

0 < β < 900. Khi quay mp(P) xung quanh trục Δ với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn

xoay đỉnh O (hình 1).

 Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.

 Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh.

2b. Hình nón tròn xoay-khối nón tròn xoay:

Định nghĩa Hình nón tròn xoay

ThuVienDeThi.com

THPT Thốt Nốt

Trang 2 của 16

Cho ΔOIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình,

gọi là hình nón tròn xoay(gọi tắt là hình nón) (hình 2).

 Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.

 Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là đáy của hình nón.

Định nghĩa khối nón tròn xoay

Khối nón tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi hình nón tròn xoay và cả hình nón đó

2c. Công thức diện tích và thể tích của hình nón

Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đƣờng sinh là ℓ thì có:

 Diện tích xung quanh: Sxq= π.r.l

 Diện tích đáy (hình tròn): Str = π.r2

 Diện tích toàn phần hình tròn: S = Str + Sxq

 Thể tích khối nón: 2 1 1 . . 3 3 V B h r h   

Tính chất:

 Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh→ Thiết diện là tam giác cân.

+ Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là

mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.

 Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón→giao tuyến là một đường tròn.

+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón→giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.

+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón→giao tuyến là 1 đường parabol.

ThuVienDeThi.com

THPT Thốt Nốt

Trang 3 của 16

Vd1: Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy, diện tích toàn phần và thể tích khối nón của các hình

nón thỏa điều kiện sau.

a) Có chiều cao bằng 2a và bán kính đường tròn đáy là 3 a

b) Có đường sinh bằng 2a và chiều cao bằng 2 a

c) Hình nón được tạo bởi tam giác đều ABC quay quanh đường cao AM với M trung điểm BC.

Vd2: Thiết diện đi qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh cạnh huyền bằng 2 a

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón, giả sử nó có đỉnh là S.

b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.

c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón, sao cho mp(SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy

hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC.

Vd3: Một hình nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm.

a) Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho.

b) Tính thể tích khối nón tạo nên bởi hình nón đó.

c) Một thiết diện đi qua đỉnh có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm.

Tính diện tích thiết diện đó.

Bài tập rèn luyện:

Bài 1. Một hình nón có bán kính đáy bằng 2 cm, góc ở đỉnh bằng 600.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.

b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.

Bài 2. Mặt nón tròn xoay có đỉnh là S, O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng 2 a và góc

giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600.

a) Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón.

b) Tính thể tích của khối nón được tạo nên.

Bài 3. Trong không gian cho ΔOIM vuông tại I có 0 30 IOM  và cạnh IM = a. Khi quay tam giác

OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay.

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

b) Tính thể tích khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón trên.

ThuVienDeThi.com