Chuyên đề Khối đa diện

Khối đa diện

Trang 1

1. Hệ thức lượng trong tam giác

a) Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH.

   2 2 2 AB AC BC   2 2 AB BC BH AC BC CH . , .   2 2 2 1 1 1 AH AB AC  

 AB BC C BC B AC C AC B .sin .cos .tan .cot     b) Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p.

 Định lí hàm số cosin:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a =b c 2bc cosA; b c a ca B c a b ab C – . .cos ; .cos       

 Định lí hàm số sin: R C c B b A a 2 sin sin sin   

 Công thức độ dài trung tuyến:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 a b c b c a c a b a b c m m m ; ;         

2. Các công thức tính diện tích a) Tam giác:

  c b a h c h b h a S . 2 1 . 2 1 . 2 1    C ab B ca A bc S sin 2 1 sin . 2 1 sin 2 1   

   R abc S 4  pr S      S p p a p b p c    

 ABC vuông tại A: 2S AB AC BC AH . .  

 ABC đều, cạnh a:

2 3

4 a S 

b) Hình vuông: S = a2 (a: cạnh hình vuông) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)

d) Hình bình hành: S = đáy  cao = A AB AD sinBAD . .

e) Hình thoi: A 1 2 S AB AD sinBAD AC BD . . .  

f) Hình thang: (a, b: hai đáy, h: chiều cao)  h b a S . 2 1  

g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: 1 2 S AC BD . 

CHƯƠNG I KHÔI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

1. Thể tích của khối hộp chữ nhật:

với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật. V abc  2. Thể tích của khối chóp:

với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp 1 3 đáy V S h. 

3. Thể tích của khối lăng trụ:

với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ đáy V S h. 

4. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện

a) Tính thể tích bằng công thức

 Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …  Sử dụng công thức để tính thể tích. b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ

ThuVienDeThi.com

Trang 2

Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể tích của chúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính. c) Tính thể tích bằng cách bổ sung

Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích. d) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích

Ta có thể vận dụng tính chất sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên Oy; C, C' trên Oz, ta đều có:

OABC

OA B C

V OA OB OC V OA OB OC ' ' '

. . ' ' ' 

* Bổ sung  Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên  Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với diện tích các đáy.

Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng  (450 <  < 900). Tính thể tích hình chóp.

HD: Tính h =  1 2 atan V a3 1 tan 6  

Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh

bên SA = a . Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) lần lượt cắt 5 SC và SD tại C và D. Tính thể tích của khối đa diện ADD.BCC. HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' thì được khối SABCD

 a V

3 5 3 6 

Bài 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích hình chóp theo x và y. HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC và AIBC (I là trung điểm SA)

 xy V x y 2 2 4 12   

Bài 4. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Tính thể tích tứ diện theo a, b, c. HD: Trong mp(BCD) lấy các điểm P, Q, R sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của

PQ, QR, RP. Chú ý: VAPQR = 4VABCD = 1

6 AP AQ AR . .

 V a b c b c a c a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( )( ) 12       

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA  (ABC).Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.

HD: 

2 2

2

16

25

SAMN

SABC

V SA SM SN SA V SA …