Chuyên đề Mặt nón Mặt trụ - Mặt cầu

Mặt nón – mặt trụ - Mặt cầu

Trang 1

CHƯƠNG 2 MẶT NÓN – MẶT TRỤ - MẶT CẦU

BÀI 1 MẶT NÓN

1/ Mặt nón tròn xoay

Trong mặt phẳng , cho 2 đường thẳng , cắt nhau tại và chúng tạo thành góc với ( ) P d D O b

. Khi quay xung quanh trục với góc không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay 0 0 0 90 b < < ( ) mp P D b

đỉnh (hình 1). O

+ Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.

+ Đường thẳng gọi là trục, đường thẳng được gọi là đường sinh và góc gọi là góc ở đỉnh. D d 2b

hình 1 hình 2 2/ Hình nón tròn xoay

Cho vuông tại quay quanh cạnh góc vuông thì đường gấp khúc tạo thành một hình, OIM D I OI OIM

gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).

+ Đường thẳng gọi là trục, là đỉnh, gọi là đường cao và gọi là đường sinh của hình nón. OI O OI OM

+ Hình tròn tâm , bán kính là đáy của hình nón. I r IM =

3/ Công thức diện tích và thể tích của hình nón

Cho hình nón có chiều cao là , bán kính đáy và đường sinh là thì có: h r l

+ Diện tích xung quanh: + Diện tích đáy (hình tròn): . . xq S r l p = 2 . day S r p =

+ Diện tích toàn phần hình nón: tp xq day S S S = +

+ Thể tích khối nón: . 2 1 1 . . . 3 3 non day V S h r h p = =

4/ Tính chất:

* Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh Thiết diện là tam giác cân. Þ

+ Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt

phẳng tiếp diện của mặt nón.

* Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón giao tuyến là một đường tròn. Þ

+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol. Þ

+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón giao tuyến là 1 đường parabol. Þ

ThuVienDeThi.com

Mặt nón – mặt trụ - Mặt cầu

Trang 2

Bài 1. Một hình nón tròn xoay có đường cao , bán kính đáy . 20 h cm = 25 r cm = a/ Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho. b/ Tính thể tích khối nón tạo nên bởi hình nón đó. c/ Một thiết diện đi qua đỉnh có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là . Tính ( ) 12 cm

diện tích thiết diện đó.

ĐS: a/ . b/ . c/ . ( ) 2 125 41 xq S cm p = ( ) 3 12500

3 non V cm p = ( ) 2 20.25 500 SAB S cm D = =

Bài 2. Cho hình lập phương có cạnh là . Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của . ' ' ' ' ABCD A B C D a khối nón có đỉnh là tâm của hình vuông và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông . O ABCD ' ' ' ' A B C D

ĐS: . . ( )

2 5 4 xq

a S Ðvdt p = ( ) 3 1 12 V a Ðvtt p =

Bài 3. Thiết diện đi qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh cạnh huyền bằng . 2 a a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón, giả sử nó có đỉnh là . S b/ Tính thể tích của khối nón tương ứng. c/ Cho dây cung của đường tròn đáy hình nón, sao cho tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón BC ( ) mp SBC

một góc . Tính diện tích tam giác . 0 60 SBC

ĐS: a/ ; b/ c/ . ( )

2 2 2 xq

a S Ðvdt p = ( ) 2 1 2

2 tp

a S

p + = ( )

3 2 12 a V Ðvtt p = ( )

2 2

3 SBC

a S Ðvdt D =

Bài 4. Mặt nón tròn xoay có đỉnh là , là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng và góc giữa đường S O 2 a

sinh và mặt phẳng đáy bằng . 0 60 a/ Tính diện xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón được tạo nên.

b/ Gọi là một điểm trên đường cao của hình nón sao cho tỉ số . Tính diện tích của thiết diện I SO 1 3 SI SO =

qua và vuông góc với trục của hình nón. I

ĐS: a/ ; .; . b/ . ( ) 2 xq S a Ðvdt p = ( )

2 3

2 tp

a S Ðvdt p = ( )

3 6 12 a V Ðvtt p = ( )

2

18 td

a S Ðvdt p =

Bài 5. Cho hình nón đỉnh với đáy là đường tròn tâm , bán kính , chiều cao của hình nón bằng . Gọi là S O R 2R I

một điểm nằm trên mặt phẳng đáy sao cho . Giả sử là điểm nằm trên đường tròn sao cho 2 IO R = A ( ) , O R

. OA OI ^ a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tạo thành. b/ Gọi là một điểm di động trên cắt mặt nón tại điểm thứ hai là . Chứng minh …