Chuyên đề Toán tổ hợp - Nhị thức Newton

Nguyễn Hải Hà 0983325739

Trang 1

QUY TẮC ĐẾM

1) Quy tắc cộng :

Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, hiện tượng 2 có n cách xảy ra và hai hiện tượng này không xảy ra đồng thời thì số cách xảy ra hiện tượng này hay hiện tượng kia là : m + n cách. 2) Quy tắc nhân :

Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, ứng với mỗi cách xảy ra hiện tượng 1 rồi tiếp đến hiện tượng 2 có n cách xảy ra thì số cách xảy ra hiện tượng 1 “rồi” hiện tượng 2 là : m × n cách 3) Các dấu hiệu chia hết

– Chia hết cho 2 : số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. – Chia hết cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3 (ví dụ : 276). – Chia hết cho 4 : số tận cùng là 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4 (ví dụ : 1300, 2512)

– Chia hết cho 5 : số tận cùng là 0, 5. – Chia hết cho 6 : số chia hết cho 2 và chia hết cho 3. – Chia hết cho 8 : số tận cùng là 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8 (ví dụ : 15000, 2016)

– Chia hết cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9 (ví dụ : 2835). – Chia hết cho 25 : số tận cùng là 00, 25, 50, 75. – Chia hết cho 10 : số tận cùng là 0.

HOÁN VỊ

1. Giai thừa

Với số nguyên dương n, ta định nghĩa n giai thừa, kí hiệu n!, là tích các số nguyên liên tiếp từ 1 đến n.

n! = 1.2.3…(n – 2) (n – 1)n Vì tiện lợi, người ta qui ước :

0! = 1 Từ định nghĩa, ta có :

và (n – 1) !n = n ! )! (

! )1 )...( 1 ( r n

n r n n n     

2. Hoán vị

Có n vật khác nhau, sắp vào n chỗ khác nhau. Mỗi cách sắp được gọi là 1 hoán vị của n phần tử.

Theo qui tắc nhân, chỗ thứ nhất có n cách sắp (do có n vật), chỗ thứ nhì có n – 1 cách sắp (do còn n – 1 vật), chỗ thứ ba có n – 2 cách sắp (do còn n – 2 vật), …, chỗ thứ n có 1 cách sắp (do còn 1 vật). Vậy, số hoán vị của n phần tử, kí hiệu Pn, là :

Pn = n(n – 1)(n – 2)… × 1 = n!

ThuVienDeThi.com

Nguyễn Hải Hà 0983325739

Trang 2

CHỈNH HỢP

Có n vật khác nhau, chọn ra k vật khác nhau (1  k  n), sắp vào k chỗ khác nhau. Mỗi cách chọn rồi sắp như vậy gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

Chỗ thứ nhất có n cách chọn (do có n vật), chỗ thứ 2 có (n – 1) cách chọn, . . ., chỗ thứ k có [n – (k – 1)] cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn sẽ là:

n x (n-1) x (n-2) x . . . x (n – k + 1) = )! (

!

k n

n 

Nếu ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là , ta có: = k n A k n A )! (

!

k n

n 

TỔ HỢP Có n vật khác nhau, chọn ra k vật khác nhau (0  k  n) không để ý đến thứ tự chọn. Mỗi cách chọn như vậy gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Ta thấy mỗi tổ hợp chập k của n phần

tử tạo ra được Pk = k! chỉnh hợp chập k của n phần tử. Do đó, nếu ký hiệu là số tổ hợp chập k k n C

của n phần tử, ta có: )! (!

! ! k n k

n k A C

k n k n   

Tính chất:

k n n k n C C  

k n k n k n C C C 1 1 1    

n n n n n n C C C C 2 ... 2 1 0     

NHỊ THỨC NEWTON

1/ Nhị thức Newton có dạng

  n n

n n n

na k k n k

n n n n n n n

n b b a b a b a b a a b a C C C C C C               1 1 2 2 2 1 1 0 . ...... .......

= (n = 0, 1, 2, 3, 4, . . .) k k n n

k

k

n b a C





0 Các tính chất của nhị thức NewTon (i) Số các số hạng trong khai triển nhị thức (a + b)n là n + 1 (ii) Tổng số mũ của a và b trong từng số hạng của khai triển nhị thức (a + b)n là n (iii) Số hạng thứ (k + 1) là

k k n k n b a C 

(iv) Số hạng bất kỳ trong khai triển (a + b)n là

k k n k n b a C 

2/ Tam giác Pascal

Các hệ số của lũy thừa (a + b)n với n lần lượt là 0, 1, 2, 3, . . . được sắp thành từng hàng của k n C

tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal:

ThuVienDeThi.com