Chuyên đề Đại số 8 nâng cao Phân tích đa thức thành nhân tử

Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử

I- Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác:

Các bài toán Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

, 5 6 d , 1 3 3 6

, 3 8 4 e, 3 1 8

, 8 7 f, 5 2 4

, 3 1 6 5 h , 8 3 0 7

, 2 5 1 2 k , 6 7 2 0

a x x x x

b x x x x

c x x x x

g x x x x

i x x x x

   

   

   

   

   

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

(Đa thức đã cho có nhiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ)

II- Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử 1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương: A2 – B2 = (A – B)(A + B)

3 2 3

3 2 3

3 2 3 2

3 2 3 2

1, 5 8 4 2, 2 3

3, 5 8 4 4, 7 6

5, 9 6 16 6, 4 13 9 18

7, 4 8 8 8, 6 6 1

x x x x x

x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

    

    

     

      

3 2 3

3 3 2

3 2 3 2

3 3

9, 6 486 81 10, 7 6

11, 3 2 12, 5 3 9

13, 8 17 10 14, 3 6 4

15, 2 4 16, 2

x x x x x

x x x x x

x x x x x x

x x x

    

    

     

  2

3 2 3 2

3 2 3 2

3 2 4 3 2

12 17 2

17, 4 18, 3 3 2

19, 9 26 24 20, 2 3 3 1

21, 3 14 4 3 22, 2 1

x x

x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x

  

    

     

      

ThuVienDeThi.com

Các bài toán

Bài 1: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử:

2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung

Các bài toán Bài 1: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử:

III- Phương pháp đổi biến

Các bài toán Bài 1:Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử

Bài 2: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử

 

2 2 2 2 2

4 4

4 4

4 4 4

4 4 4 2

1, (1 ) 4 (1 ) 2, 8 36

3, 4 4, 64

5, 64 1 6, 81 4

7, 4 81 8, 64

9, 4 10,

x x x x

x x

x x

x x y

x y x x

    

 

 

 

  1

7 2 7 5

5 4 5

8 7 5 4

5 10 5

1, 1 2, 1

3, 1 4, 1

5, 1 6, 1

7, 1 8, 1

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

   

   

   

   

2 2 2 2 2 2 2

2 2 4

4

1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24

3, ( 4 8) 3 ( 4 8) 2 4, ( ) 4 4 12

5, 2 2 2 15 6, ( )( 2 )( 3 )( 4 )

7, 6 11

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x xy y x y x a x a x a x a a

x x

        

         

         

 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

3 8, ( ) 3( ) 2

9, 2 3 3 10 10, ( 2 ) 9 18 20

11, 4 4 2 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16

x x x x

x xy y x y x x x x

    

        

         

4 3 2

2 2 2 2 2 1, 6 7 6 1

2, ( )( ) ( )

x x x x

x y z x y z xy yz zx

   

      

ThuVienDeThi.com

IV- Phương pháp xét giá trị riêng Phương pháp: Trước hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cô thể để xác định thừa số còn lại. Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Giải a, Giả sử thay x bởi y thì P = 2 2 ( ) ( ) 0 y y z y z y     Như vậy P chứa thừa số x – y Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi(ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh bởi các biến x, y, z). Do đó nếu P đã chúa thùa số x – y thì cũng chúa thừa số y – z, z – x. Vậy P phải có dạng P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thấy k phải là hằng số(không chúa biến) vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức

đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 ta được k = -1 Vậy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z)

Các bài toán Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) M a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b              

2 2 2 ( ) ( ) ( ) N a m a b m b c m c abc        , với 2m = a+ b + c. Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

3 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 2 3 2

3 3 3

2 2

) ( )( ) .

) ( 2 ) (2 ) . ) ( ) ( ) ( ).

) ( )( ) ( )( ) ( )( )

) ( ) ( ) ( ) ( 1).

) ( ) ( ) ( ) .

) (

a A a b c ab bc ca abc

b B a a b b a b c C ab a b bc b c ac a c

d D a b a b b c b c c a c a

e E …