Toán 8 - Chuyên đề Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 1

CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC

A. Các kiến thức thường sử dụng là:

+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức:

; 2 a b ab  

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”. + Bất đẳng thức: (BĐT: Bunhiacopxki);      2 2 2 2 2 ac bd a b c d    

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . a b c d 

+ ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab 0. a b a b    

+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Nếu thì min y = a khi f(x) = 0.  

2 ( ) y a f x  

Nếu thì max y = a khi f(x) = 0.  

2 ( ) y a f x  

+ Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2).

C. CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI

 Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC

Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức:

a) 2 4 4 11 A x x   

b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)

c) 2 2 2 4 7 C x x y y     

Giải: a)  

2 2 2 4 4 11 4 4 1 10 2 1 10 10 A x x x x x          

Min A = 10 khi .  1 2 x 

b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)

= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 -36 

Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5. 

c) 2 2 2 4 7 C x x y y     

= (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2 2 

Min C = 2 khi x = 1; y = 2. 

Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức:

a) A = 5 – 8x – x2

ThuVienDeThi.com

Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 2

b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y

Giải:

a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 21 

Max A = 21 khi x = -4. 

b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y

= -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7

= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7 7 

Max B = 7 khi x = 1, .  1 2 y 

Bài toán 3: Tìm GTNN của:

a) 1 2 3 4 M x x x x        

b)  

2 2 1 3 2 1 2 N x x     

Giải: a) 1 2 3 4 M x x x x        

Ta có: 1 4 1 4 1 4 3 x x x x x x           

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x) 0 hay  1 4 x  

2 3 2 3 2 3 1 x x x x x x           

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x) 0 hay  2 3 x  

Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi . 2 3 x   b)  

2 2 2 1 3 2 1 2 2 1 3 2 1 2 N x x x x          

Đặt thì t 0 2 1 t x   

Do đó N = t2 – 3t + 2 = . 2 3 2

1 ( ) 4 t   1 4 N  

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3 3 0 2 2 t t   

Do đó khi 1 4 N 

3 5 2 1 3 3 2 4 2 1 3 1 2 2 2 1 2 4

x x t x

x x

                     

Vậy min hay . 1 5 4 4 N x    1 4 x 

Bài toán 4: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3.

Giải:

M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2

ThuVienDeThi.com

Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Gv: Nguyễn Bá Thiện - Trường THCS Hạnh Lâm 3

2 2 2 2 2

2 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy x y               

2 2 1 ( ) 2 M x y   

Ngoài ra: x + y = 1 x2 + y2 + 2xy = 1 2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1  

=> 2(x2 + y2) ≥ 1

Do đó và 2 2 1 2 x y   2 2 1 1 2 2 x y x y     

Ta có: và 2 2 1 ( ) 2 M x y   2 2 1 1 1 1 ( ) . 2 2 2 4 x y M     

Do đó và dấu “=” xảy ra 1 4 M  1 2 x y   

Vậy GTNN của 1 1 4 2 M x y    

Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện:

(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0.

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2.

Giải:

(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0

[(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0 

x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0 

x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0 

x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2 

(x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2 

Đặt t = x2 + y2. Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2

Suy ra: t2 – 3t + 1 ≤ 0

2

2

3 9 5 2. . 0 2 4 4

3 5 3 5 2 4 2 2

5 3 5 2 2 2 3 5 3 5 2 2

t t

t t

t

t

    

           

  

   

Vì t = x2 + y2 nên :

ThuVienDeThi.com