Chuyên đề Một số dạng toán cơ bản về phép chia đa thức

1

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN

VỀ PHÉP CHIA ĐA THỨC

Người thực hiện: Nguyễn Tấn Cường Tổ: Toán – Tin. Trường THCS Nhơn Thọ

Ngày báo cáo: 26/11/2015

Phần 1: Tên chuyên đề

“ MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÉP CHIA ĐA THỨC ” Phần 2: Cơ sở xây dựng chuyên đề: Trong chương trình đại số 8 có đề cập đến phép chia đa thức, nhưng chỉ giới thiệu sơ lược về phép chia hết, phép chia có dư và cách thực hiện phép chia đa thức một biến đã sắp xếp. Nhưng ở phần bài tập nâng cao trong SGK cũng như trong sách bài tập có đề cập đến một số bài toán tìm giá trị tham số để phép chia hết ( BT 74 SGK T8 tr 32 ); Tìm các giá trị nguyên của biến để các biểu thức có giá trị là một số nguyên ( BT 83SGK T8 tr 33 ). Hoặc trong quá trình bồi dưỡng HSG có một số dạng toán về đa thức như: Tìm dư của một phép chia; tìm đa thức thương; hay tìm nột đa thức thỏa mãn một số điều kiện cho trước… Do đó bản thân tôi chọn chuyên đề này mục đích để nghiên cứu sâu hơn một số phương pháp giải các loại toán trên nhằm để phần nào cung cấp thêm cho quí thầy cô giáo chúng ta có thêm được một số phương pháp nữa để giảng dạy ngày càng tốt hơn.

Phần 3: Nội dung A.Lý thuyết

I.Chia đa thức. 1.Khái niệm. * A B A = B.Q ( với A, B, Q là các đa thức)   * Với 2 da thức một biến A và B tùy ý, tồn tại duy nhất 2 đa thức Q và R sao cho: A = B.Q + R ( R=0 hoặc R có bậc nhỏ hơn bậc của B )  R=0 ta có phép chia hết.  R 0 ta có phép chia có dư  2. Tính chất. a/ A(x) C(x); B(x) C(x) [ A(x) B(x) ] C(x)      b/ A(x) B(x) [ A(x).M(x) ] B(x)    c/ A(x) M(x); B(x) N(x) [ A(x) . B(x) ] [ M(x). N(x) ]     II. Tìm dư của phép chia mà không thực hiện phép chia. 1. Đa thức chia có dạng x-a (a là hằng số) *Phương pháp: + Sử dụng định lí Bơdu +Sử dụng sơ đồ Hoocne

1.1. Định lí Bơdu a/ Định lí: Số dư của phép chia đa thức f (x) cho nhị thức x-a đúng bằng f(a)

ThuVienDeThi.com

2

Ví dụ: Tìm số dư của phép chia da thức f(x) = x243+x27+x9+x3+1 cho x+1

Giải: Theo định lí Bơdu ta có số dư của phép chia f(x) cho x+1 đúng bằng f(-1) Ta có f(-1)= (-1)243+(-1)27+(-1)9+(-1)3+1= -1 -1 -1 -1 +1 = -3 Vậy số dư của phép chia đa thức f(x) cho x+1 bằng -3. b/ Hệ quả.

* f(x) (x- a) f(a) = 0.   * Đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) (x-1)  * Đa thức f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) (x+1).  1.2. Sơ đồ Hooc-ne. a/ Tổng quát: Với đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2+…..+ a1x + a0 ; chia cho: x-a. Ta được thương Là: g(x) = bnxn-1 +bn-1xn-2+bn-2xn-3+…..+ b1 ; r là số dư

Ta có sơ đồ Hoocne:

an an-1 an-2 …… a1 a0 a bn=an bn-1=a.bn+an-1 bn-2=a.bn-1+an-2 …… b1=a.b2+a1 r=a.b1+a0 b/ Các ví dụ : * Ví dụ1 : Tìm đa thức thương và dư cuả phép chia đa thức : x3-5x2+8x-4 cho x-2 mà không cần thực hiện phép chia.

Ta thực hiện như sau:

1 -5 8 - 4 a= 2 1 -3 2 0 Ta được thương là: x2 – 3 x + 2 và dư là r = 0 *Ví dụ 2: (x3-7x+6):(x+3) . ( Tương tự như trên) * Ví dụ 3: Chia x8 cho x + 0,5 được thương q1 (x); dư r1 . Chia q1(x) cho x + 0,5 được

thương q2(x) ; dư r2 . Tìm r2 ? ( Dùng lược đồ hoocner ta tính được : ) 2

1 16 r 

2. Đa thức chia có bậc từ bậc hai trở lên *Phương pháp Cách1: Tách ra ở đa thức bị chia những đa thức chia hết cho đa thức chia Cách2: Xét giá trị riêng (sử dụng khi đa thức chia có nghiệm ) Ví dụ:Tìm dư khi chia f(x) =x7+x5+x3+1 cho x2-1

* C1: f(x)=x7+x5+x3+1=(x7-x)+(x5-x)+(x3-x) +3x+1 =x(x6-1)+x(x4-1)+x(x2-1)+3x+1 Mà ta có : x6-1 x2-1; x4 -1 x2-1; x2-1 x2-1    f(x): (x2 -1) có dư là 3x+1  * C2: Có f(x) = (x2-1).Q(x) + ax + b với mọi x (1)

ThuVienDeThi.com